242 / 368
241
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
h
στο
-¥
είναι η
ευθεία
( )
2
ε : y 1 x 0 y x
= × + Û =
.
Γ4.
Η συνάρτηση
( )
( )
(
)
x
φ x e h x ln2
=
+
,
x
Î
φ
είναι συνεχής στο
ως γινό-
μενο συνεχών της
x
e
εκθετικής και της
( )
h x ln2
+
Έχουμε :
·
( )
( )
(
)
( )
x
e 0
x
φ x 0 e h x ln2 0 h x ln2 0
¹
= Û + = Û + =
( )
( ) ( )
h x ln2 h x h 0 x 0
Û = - Û = Û =
Επειδή η συνάρτηση
h
είναι γνησίως αύξουσα στο
άρα και 1
-1.
·
( )
( )
(
)
( )
x
e 0
x
φ x 0 e h x ln2 0 h x ln2 0
¹
> Û + > Û + >
( )
( ) ( )
h
h x ln2 h x h 0 x 0
Û > - Û > Û >
1
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει από το
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
1
x
x
x
0
0
0
0
φ x dx φ x dx e h x ln2 dx e h x e ln2 dx
=
=
+
=
+
ò
ò
ò
ò
( )
1
1
x
x
1 2
0
0
e h x dx e ln2dx
Ι Ι
=
+
= +
ò
ò
.
Έχουμε
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
1
0
0
0
0
Ι
e h x dx e x ln e 1 dx e xdx e ln e 1 dx
=
=
- + =
-
+
ò
ò
ò
ò
(
) (
)
1
1
1
x
x
x
x
0 0
0
e x
e dx e 1 ln e 1 dx
¢
é ù =
-
- +
+
ë û
ò
ò
(
) (
)
(
)
x
1
1
1
x
x
x
x
x
0
0 0
e
e e
e 1 ln e 1
e 1
dx
e 1
é
ù
é ù
= - - +
+ + +
ë û ë
û
+
ò
(
) (
) (
)
1
x
0
e e 1 e 1 ln e 1 2ln2 e dx
= - - - é + + - ù +
ë
û
ò
(
) (
)
1
x
0
e e 1 e 1 ln e 1 2ln2 e
é ù
= - + - + + + + ë û
(
) (
)
(
) (
)
1 e 1 ln e 1 2ln2 e 1 e 1 ln e 1 2ln2 e
= - +
+ + + - = - +
+ + +
A
κόμη
1
1
x
x
2
0
0
Ι
e ln2dx e ln2 eln2 ln2
é
ù
=
=
= -
ë
û
ò
Οπότε
( ) (
)
(
) (
)
E
Ω e 1 ln2 e 1 ln e 1 e
= + - +
+ +
τ.μ.