240 / 368
239
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ
3.
Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της
h
στο
+¥
και την πλάγια ασύμπτωτή της στο
-¥
.
(Μονάδες
6)
Γ4
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
( )
(
)
x
φ x e h x ln2
=
+
,
x
Î
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της
( )
φ x
,
τον άξονα
x x
¢
και την ευθεία
x 1
=
(Μονάδες
7)
Απάντηση:
Γ1.
H h
είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο
ως διαφορά των συναρτήσεων
x
και
(
)
x
ln e 1
+
που είναι 2 φορές παραγωγίσιμες στο
.
Έτσι λοιπόν έχουμε
( )
x
x
e
h x 1
e 1
¢
= -
+
για κάθε
x
Î
και
( )
(
)
(
)
(
)
x x
x x
x
2
2
x
x
e e 1 e e
e
h x
0
e 1
e 1
+ -
¢¢
= -
= -
<
+
+
για κάθε
x
Î
Άρα η
h
είναι κοίλη στο
Γ2.
Έχουμε
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
lnx
h 2h x
h 2h x
e
e
e
ln e
ln
e 1
e 1
¢
¢
æ
ö
< Û < ç
÷
+
+è
ø
1
( )
(
)
(
)
h 2h x lne ln e 1
¢
Û < - +
( )
(
)
(
)
h 2h x 1 ln e 1
¢
Û < - +
( )
(
)
( )
h 2h x h 1
¢
Û <
(1)
Όμως
( )
x
x
x
x
x
x
e e 1 e 1
h x 1
0
e 1 e 1 e 1
+ -
¢
= - =
= >
+
+
+
για κάθε
x
Î
Άρα η
h
είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Επιπλέον, αφού η
h
είναι κοίλη στο , η
h
΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο
Έτσι λοιπόν η
(1)
γίνεται: