236 / 368
235
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
( )
( )
( )
π
π
4
4
0
0
π
G 0 f
0 f t dt
f t dt
4
-
-
æ ö
= - × +
=
ç ÷
è ø
ò
ò
. Όμως είναι
( )
f t 0
>
για κάθε
π
t
,0
4
é
ù
Î -ê
ú
ë
û
, άρα
( )
( )
π
0
4
π
0
4
f t dt 0
f t dt 0
-
-
> Þ <
ò
ò
.
Δηλαδή
( )
G 0 0
<
·
( )
π
G f 0 0 1 0
4
æ ö = + = >
ç ÷
è ø
Αφού η G ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διά-
στημα
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
0
π
x 0,
4
æ ö
Î ç ÷
è ø
,
έτσι
,
ώστε
:
( )
( )
0
π
x
4
0
0
0
0
π
G x 0 f x
εφx
f t dt 0
4
-
æ
ö
= Û - ×
+
=
ç
÷
è
ø
ò
( )
( )
0
0
π
x
0
4
π
0
0
0
0
0
x
4
π
π
f x
εφx
f t dt f x
εφx
f t dt
4
4
-
-
æ
ö
æ
ö
Û - ×
= -
Û - ×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ò
ò
.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
για την οποία ισχύουν:
·
( )
( )
(
)
( )
2
2xf x x f x 3 f x
¢
¢
+
- = -
για κάθε
x
Î
·
Γ1.
Να αποδείξετε ότι:
( )
3
2
x
f x
x 1
=
+
,
x
Î
και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
(Μονάδες 6)
Γ2
.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f
του
ερωτήματος Γ1
(Μονάδες 4)
( )
1
f 1
2
=
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013