239 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
238
Γ4.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
3
x x
0
h x x f t dt
-
=
ò
f
συνεχής στο
,
0
Î
άρα η
( )
( )
x
0
r x f t dt
=
ò
ορίζεται και
είναι παραγω-
γίσιμη στο
. Επιπλέον η
( )
3
g x x x
= -
είναι παραγωγίσιμη
στο
ως
πολυωνυμική άρα η
( ) ( )( )
b x r g x
=
ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο
ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Ακόμη η
( )
v x x
=
ορίζεται
και είναι παραγωγίσιμη στο
.
Οπότε η
( )
( )
3
x x
0
h x x f t dt
-
=
ò
παραγωγίσι-
μη στο
ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Έτσι λοιπόν είναι
·
h
συνεχής στο
[ ]
0,1
Í
·
h
παραγωγίσιμη στο
( )
0,1
με
( )
( )
(
) (
)
3
x x
2
3
0
h x
f t dt x 3x 1 f x x
-
¢
=
+ -
-
ò
·
( )
( )
0
0
h 0 0 f t dt 0
= ×
=
ò
και
( )
( )
1 1
0
h 1
f t dt 0
-
=
=
ò
άρα
( ) ( )
h 0 h 1
=
Οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
Rolle
άρα υπάρχει του-
λάχιστον ένα
( )
ξ 0,1
Î
τέτοιο ώστε
( )
( )
(
) (
)
3
ξ ξ
2
3
0
h
ξ 0
f t dt ξ 3ξ 1 f ξ ξ 0
-
¢
= Û + -
- =
ò
( )
(
) (
)
3
ξ ξ
2
3
0
f t dt
ξ 3ξ 1 f ξ ξ
-
Û = - -
-
ò
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
)
x
h x x ln e 1
= - +
,
x
Î
Γ
1.
Να μελετήσετε την
h
ως προς την κυρτότητα
(
Μονάδες
5)
Γ
2.
Να λύσετε την ανίσωση
( )
(
)
h 2h x
e
e
e 1
¢
<
+
,
x
Î
(Μονάδες
7)
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014