245 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
244
*
Για την εύρεση του ορίου
( )
lnx
x
x
x
lim f x lim e
®+¥
®+¥
=
θέτουμε
lnx
u
x
=
και
( )
( )
'
'
x
D.L.H x
x
x
1
lnx
lnx
1
x
lim lim lim lim 0
x
1
x
x
¥æ ö
ç ÷¥è ø
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
=
=
= =
άρα
u 0
®
έτσι
( )
lnx
u
x
x
x
u 0
lim f x lim e lime 1
®+¥
®+¥
®
=
= =
Τελικά το σύνολο τιμών της συνάρτησης
f
είναι:
( )
( ) ( )
1
1
1
e
e
e
f
1
2
f D f
Δ f Δ 0,e 1,e 0,e
é ù æ
ù é ù
= È =
È = ç
ê ú
ú ê ú
ë û è
û ë û
Γ3.
i)
Διαδοχικά για
x 0
>
έχουμε:
( ) ( )
x
lnx
ln4 e :1 1
x
4
lnx ln4
f x f 4 e e
x 4
-
= Û = Û =
lnx '1 1'
4
x
4
x
4lnx xln4 lnx ln4
x 4
-
Û = Û = Û =
ii)
Αρχικά θα δείξουμε ότι οι
1
2
x 2 , x 4
= =
είναι λύσεις της εξίσωσης
4 x
x 4
=
η
οποία σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα είναι ισοδύναμη με την
( ) ( )
f x f 4
=
.
Για
x 4
=
είναι
( ) ( )
f 4 f 4
=
και για
x 2
=
έχουμε
( )
( )
2
ln2
2 ln2
ln2
ln4
2
2 2
4
4
f 2 e e e e f 4
×
×
= = = = =
Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι αυτές είναι μοναδικές.
Πράγματι, η συνάρτηση
f
στο
[ ]
0,e
είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1
-1
και
επομένως αν υπάρχει
[ ]
x 0,e
Î
ώστε
( ) ( )
f x f 4
=
τότε αυτό θα είναι μονα-
δικό.
Επομένως η
x 2
=
μοναδική λύση της
( ) ( )
f x f 4
=
στο
[ ]
0,e
.
Επίσης, η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
[
)
e,
+¥
και κατά συνέ-
πεια 1
-1
άρα η
( ) ( )
f x f 4
=
επαληθεύεται μόνο για την τιμή
x 4
=
στο διά-
στημα αυτό.
Τελικά η εξίσωση
4 x
x 4 ,x 0
= >
έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις
1
2
x 2 , x 4
= =