241 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
240
( )
( )
( ) ( )
( )
h
1
2h x 1 h x
h x h 0 x 0
2
¢
¢
¢
¢
¢
< Û < Û < Û >
>
Γ3.
Για την οριζόντια ασύμπτωτη της
h
C
στο
+¥
έχουμε
( )
(
)
(
)
x
x
x
x
1
x
x
x
x
x
e
lim h x lim x ln e 1 lim lne ln e 1 lim ln
e 1
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
æ
ö
é
ù
é
ù
=
- + =
- + =
=
ç
÷
ë
û
ë
û
+ è
ø
Για
x M
>
(με Μ μεγάλος θετικός αριθμός) θέτουμε
x
x
e
u
e 1
=
+
Είναι
x
x
x
x
x
d.L.H. x
e
e
lim
lim 1
e 1
e
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®+¥
®+¥
æ
ö
æ ö
=
=
ç
÷
ç ÷
+ è
ø
è ø
άρα
u 1
®
Οπότε
( )
1
u 1
lim lnu 0
®
=
=
άρα η οριζόντια ασύμπτωτη της
h
C
στο
+¥
είναι η
ευθεία:
( )
1
ε : y 1
=
Για την πλάγια ασύμπτωτη της
h
C
στο
-¥
έχουμε
( )
(
)
(
)
x
x
2
x
x
x
x ln e 1
ln e 1
h x
lim lim
lim 1
x
x
x
®-¥
®-¥
®-¥
é
ù
- +
+
ê
ú
=
=
-
=
ê
ú
ë
û
Έχουμε
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
ln e 1
1
lim
lim ln e 1 0 0 0
x
x
®-¥
®-¥
æ
ö +
æ
ö
ç
÷ =
+ = × =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
αφού
·
x
1
lim 0
x
®-¥
æ ö = ç ÷
è ø
·
(
)
(
)
x
3
x
lim ln e 1
®-¥
+ =
για
x M
<-
(με Μ μεγάλος θετικός αριθμός) θέ-
τουμε
x
u e 1
= +
με
(
)
x
x
lim e 1 0 1 1
®-¥
+ = + =
άρα
u 1
®
Οπότε
3
u 1
limlnu 0
®
=
=
.
Επομένως,
( )
2
x
h x
lim 1 0 1
x
®-¥
=
= - =
.
Επιπλέον
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
3
x
x
x
lim h x x lim x ln e 1 x lim ln e 1
0
®-¥
®-¥
®-¥
- =
- + - = - + = - =