243 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
242
Δίνεται η συνάρτηση
( )
lnx
x
e ,
αν x 0
f x
0 ,
αν x 0
ìï
>
= í
ï
<
î
Γ1.
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x
0
= 0.
(Μονάδες 4)
Γ2.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
(Μονάδες 7)
Γ3.
i)
Να αποδείξετε ότι, για x
>
0, ισχύει η ισοδυναμία
( ) ( )
4
x
f x f 4 x 4
= Û =
(Μονάδες 2)
ii)
Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση
4 x
x 4
=
,
x 0
>
έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις
1
x 2
=
και
2
x 4
=
.
(Μονάδες 6)
Γ4.
(
εκτός ύλης)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,
( )
ξ 2,4
Î
τέ-
τοιο, ώστε
( ) ( )
( )
( )
(
)
ξ
2
f
ξ f t dt f ξ 2 f ξ
¢
=
-
ò
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
Γ1.
Έχουμε τη συνάρτηση
( )
lnx
x
e ,
αν x 0
f x
0 ,
αν x 0
ìï
>
= í
ï
=
î
με
[
)
f
D 0,
= +¥
.
Για να είναι συνεχής στο
x 0
=
θα πρέπει να ισχύει
( ) ( )
x 0
limf x f 0
®
=
.
Για
x 0
>
σε μια περιοχή κοντά στο
0
έχουμε:
( )
( )
lnx
x
x 0
x 0
limf x lime 1
®
®
=
Θέτουμε
lnx
u
x
=
με
x 0
x 0
x 0
lnx
lnx
1
lim lim lim lnx
x
x
x
+
+
®
®
®
æ
ö
=
=
×
= -¥
ç
÷
è
ø
άρα
u
®-¥
.
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014