247 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
246
Όπου
( )
(
)
( )
2
h x f x 1 f 2 1
= + - +
.
(
Μονάδες 6
)
Γ3.
Να αποδείξετε ότι
η εξίσωση
( )
1
f f x
1
2
æ
ö - =
ç
÷
è
ø
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2
x , x
.
(
Μονάδες 6
)
Γ4.
Αν για τις ρίζες
1 2
x ,x
του ερωτήματος
Γ3
ισχύει ότι
1
2
x x
<
,
τότε να απο-
δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
(
)
1
ξ x ,1
Î
τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
( )
(
)
ξ,f ξ
να διέρχεται από το ση-
μείο
3
M 0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
.
(
Μονάδες 7
)
Απάντηση:
Γ1.
Έχουμε τη συνάρτηση
( )
x 1
f x e lnx
-
= -
με πεδίο ορισμού
(
)
f
D 0,
= +¥
στο
οποίο είναι
συνεχής και
παραγωγίσιμη με
( )
(
)
x 1
x 1
1
f x e lnx e
x
-
-
¢
¢
= - = -
.
Είναι
( )
x 1
x 1
2
1
1
f x e
e
0
x
x
-
-
¢
æ
ö
¢¢
= - = + >
ç
÷
è
ø
για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
και επομένως
η συνάρτηση
f
¢
είναι γνησίως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
.
Επίσης από παρατήρηση προκύπτει ότι
( )
1 1
1
f 1 e
0
1
-
¢
= - =
.
Για κάθε
x 1
>
είναι
( ) ( )
( )
f x f 1 f x 0
¢
¢
¢
> Û >
αφού η
f
¢
είναι γνησίως αύ-
ξουσα συνάρτηση.
Όμοια για
0 x 1
< <
:
( ) ( )
( )
f x f 1 f x 0
¢
¢
¢
< Û <
Έτσι
x
0
1
+¥
( )
f x
¢
-
+
f
>
1