244 / 368
243
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επομένως η
( )
1
γίνεται
( )
( )
lnx
u
x
x 0
x 0
u
limf x lime lim e 0 f 0
®
®
®-¥
=
=
= =
και επομέ-
νως η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο
x 0
=
.
Γ2.
Η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο
[
)
0,
+¥
και παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με
( )
( )
( )
lnx
lnx
lnx
lnx
x
x
x
x
2
2
lnx
lnx x lnx x
1 lnx
f x e
e
e
e
x
x
x
¢
¢
¢
¢
æ ö
× - ×
-
æ ö
¢
=
=
=
×
=
×
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
Έτσι λοιπόν έχουμε
( )
lnx
x
2
1 lnx
f x 0
e 0 1 lnx 0 lnx 1 x e
x
-
¢
= Û ×
= Û - = Û = Û =
( )
lnx
x
2
1 lnx
f x 0
e 0 1 lnx 0 lnx lne x e
x
-
¢
< Û ×
< Û - < Û > Û >
( )
lnx
x
2
1 lnx
f x 0
e 0 1 lnx 0l
nx lne 0 x e
x
-
¢
> Û ×
> Û - > Û < Û < <
·
Η
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
[ ]
1
Δ 0,e
=
και συνεχής άρα
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
e
lne
1
1
e
e
f
Δ f 0 , f e
f 0 0
f
Δ 0,e
f e e e
ü
= é
ù
ë
û ï
=
ï
é ù
ï
Þ =
ý
ê ú
ë û
ï
= =
ï
ïþ
·
Η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
[
)
2
Δ e,
= +¥
και συνεχής άρα
( )
( ) ( )
(
( )
( )
( )
( )
2
x
1
1
e
e
1
*
x
f
Δ lim f x , f e
f e e
f
Δ 1,e
lim f
x 1
®+¥
®+¥
üù
=
ûï
ï
æ
ù
ï
=
Þ =
ý
ç
ú
è
û
ï
=
ï
ï
þ
x
-¥
0 e
+¥
( )
f x
¢
+
-
( )
f x
1
>