249 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
248
Άρα ισχύει
( ) ( )
f x f 1 x 1
= Û =
διότι για κάθε
( )
f
x 1 f x 1
< Û >
2
και για κάθε
( )
f
x 1 f x 1
> Û >
1
Η εξίσωση γίνεται :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f 1 1
1
1
1
3
f f x
1 f f x
f 1 f x
1 f x
2
2
2
2
=
æ
ö
æ
ö
- = Û - = Û - = Û =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Όμως, αν
1 2
Δ , Δ
τα διαστήματα που ορίσαμε στο Γ1 ερώτημα και λαμβά-
νοντας υπόψη τα συμπεράσματα για τα αντίστοιχα σύνολα τιμών τους
,έχουμε:
ü
( )
[
)
1
3
f
Δ 1,
2
Î = +¥
και
f
γνησίως φθίνουσα στο
1
Δ
οπότε η εξίσωση έ-
χει ακριβώς μια λύση
1
x
στο
1
Δ
(με
1
x 1
¹
αφού
( )
f 1 1
=
και
0
x 1
=
ο-
λικό ελάχιστο της
f
).
ü
Όμοια,
η
συνάρτηση
f
είναι
γνησίως
αύξουσα
2
Δ
και
( ) (
)
2
3
f
Δ 1,
2
Î = +¥
και κατά συνέπεια υπάρχει μια ακριβώς λύση
2
x
της
εξίσωσης στο διάστημα αυτό.
Τελικά η εξίσωση
( )
1
f f x
1
2
æ
ö - =
ç
÷
è
ø
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
1 2
x ,x
.
Γ4.
Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι για τις ρίζες
1 2
x ,x
της εξίσωσης
ισχύει
1
2
x 1 x
< <
.
Έστω
(
)
1
ξ x ,1
Î
τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρ-
τησης
f
στο σημείο
( )
(
)
ξ,f ξ
είναι:
( ) ( )(
)
y f
ξ f ξ x ξ
¢
- =
-
και θα διέρχεται από το σημείο
3
Μ 0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
αν αυτό ε-
παληθεύει την εξίσωσή της, δηλαδή αν:
( ) ( )(
)
( ) ( )
3
3
f
ξ f ξ 0 ξ ξf ξ f ξ
0
2
2
¢
¢
- =
- Û - + =
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( ) ( )
3
g x xf x f x
2
¢ = - +
με
x 0
>
Όπου
( )
x 1
f x e lnx
-
= -
και
( )
(
)
x 1
x 1
1
f x e lnx e
x
-
-
¢
¢
= - = -