237 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
236
Γ3.
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
2
f 5 x 1 8 f 8 x 1
+ - £
+
(Μονάδες 7)
Γ4.
(εκτος ύλης)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,
( )
ξ 0,1
Î
τέτοιο
ώστε:
( )
(
) (
)
3
ξ ξ
2
3
0
f t dt
ξ 3ξ 1 f ξ ξ
-
= - - -
ò
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
Γ1.
Διαδοχικά έχουμε:
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2xf x x f x 3 f x 2xf x x f x 3x f x
¢
¢
¢
¢
+
- = - Û +
- = -
( )
( )
( )
2
2
2xf x x f x 3x f x
¢
¢
Û +
= -
( )
(
)
( )
(
)
2
3
x f x
x f x
¢
¢
Û = -
για κάθε
x
Î
Άρα
( )
( )
2
3
x f x x f x c
= - +
για
x
Î
με
c
Î
Για
x 1
=
είναι
( )
( )
( )
( )
1
f 1
2
f 1 1 f 1 c c 2f 1 1 c 0
=
= - + Û = - Û =
Οπότε
( )
( )
( ) ( )
( )
3
2
3
2
3
2
x
x f x x f x x f x f x x f x
x 1
= - Û + = Û =
+
,
x
Î
Έτσι λοιπόν είναι
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
3
4
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
3x x 1 x 2x 3x 3x 2x x 3x
f x
0
x 1
x 1
x 1
+ - ×
+ -
+
¢
=
=
=
³
+
+
+
για κάθε
x
Î
με το = να ισχύει μόνο για
x 0
=
άρα
f
γνησίως αύξουσα στο
.
Γ2.
Αφού
f
D
=
και
f
συνεχής στο
η γραφική παράσταση της
f
δεν έχει
κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Θα εξετάσουμε πλάγιες
-
οριζόντιες ασύμπτωτες στο
+¥
και στο
-¥
.
( )
3
3
3
2
3
3
x
x
x
x
x
f x
x
x
x 1
lim lim lim lim 1
x
x
x x
x
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
+
=
=
=
=
+