233 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
232
Απάντηση:
Γ1.
Για κάθε
x
Î
έχουμε διαδοχικά:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2
2
f x x
x
f x x f ' x 1 x
2
2
¢
¢
æ
ö +
æ ö
ç
÷
+ ×
+ = Û
= ç ÷
ç
÷ è ø
è
ø
Συνεπώς
,
θα είναι για κάθε
x
Î
:
( )
(
)
2
2
f x x x
c
2
2
+
= +
(1)
Για
x 0 :
=
( )
2
f 0
1
c c
2
2
= Û =
.
Δηλαδή
,
από τη σχέση
(1)
προκύπτει:
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2 2
f x x x 1
f x x x 1
2
2 2
+
= + Û + = +
(2)
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( )
h x f x x
= +
με
h
D
=
, που είναι συνεχής στο
ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, επομένως από τη σχέση
(2)
είναι:
( )
2
2
h x x 1
= +
(3)
Έστω ρ είναι ρίζα της h.
Τότε είναι:
( )
h
ρ 0
=
, άρα
( )
2
2
h
ρ 0 ρ 1 0
= Û + =
, που είναι άτοπο.
Άρα η h δεν έχει ρίζες στο . Συνεπώς η h διατηρεί πρόσημο.
Όμως είναι
( ) ( )
h 0 f 0 1 0
= = >
, που σημαίνει ότι
( )
h x 0
>
για
κάθε
x
Î
.
Έτσι από τη σχέση
(3)
προκύπτει
:
( )
2
h x x 1
= +
και
( )
( )
2
2
f x x x 1 f x x 1 x
+ = + Û = + -
, με
x
Î
.
Γ1.
Να αποδείξετε ότι:
( )
2
f x x 1 x, x
= + - Î
(
Μονάδες 9
)
Γ2.
Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
( )
(
)
f g x 1
=
(
Μονάδες 8
)
Γ3.
(εκτος ύλης)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
0
π
x 0,
4
æ ö
Î ç ÷
è ø
ώστε:
0
0
π
0
0
x
4
π
f(t)dt f x
εφx
4
-
æ
ö
= - ç
÷
è
ø
ò
(Μονάδες 8)