230 / 368
229
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ1.
Να αποδείξετε ότι
( )
f x
=
x
e 1
, x 0
x
1 , x 0
ì -
¹
ï
í
ï
=
î
(Μονάδες 6)
Γ2.
Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση
1
f
-
και να βρείτε το
πεδίο ορισμού της.
(Μονάδες 6)
Γ3.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
( )
(
)
A 0,f 0
. Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η
f
είναι κυρτή,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
( )
2f x x 2
= +
έχει ακριβώς μία λύση
(Μονάδες 8)
Γ4.
Να βρείτε το
( ) ( )
(
)
x 0
lim x lnx ln f x
+
®
é
ù
ë
û
(Μονάδες 5)
Απάντηση:
Γ1.
Είναι
( )
( )
( )
x
x
x
e 1
xf x 1 e xf x e 1 f x
x
-
+ = Û = - Û =
με
x 0
¹
.
Ακόμη,
( )
(
)
( )
( )
0
x
x
0
x
x 0
x 0
D.L.Hx 0
x 0
e 1
e 1
limf x lim lim
lim e 1
x
x
æ ö
ç ÷
è ø
®
®
®
®
¢ -
-
=
=
=
=
¢
.
Όμως,
f
συνεχής στο
,
άρα
f
συνεχής και στο
0
x 0
=
.
Έτσι λοιπόν,
( )
( )
x 0
f 0 limf x 1
®
=
=
Τελικά, είναι
( )
f x
=
x
e 1
, x 0
x
1 , x 0
ì -
¹
ï
í
ï
=
î
Γ2.
Για
x 0
¹
η
f
είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με
( )
x
x
2
xe e 1
f x
x
- +
¢
=
.