226 / 368
225
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
( ) (
)
f x x 1 lnx 1, x 0
= - - >
Γ1.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
]
1
Δ 0,1
=
και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
[
)
2
Δ 1,
= +¥
. Στη συνέχεια
να βρείτε το σύνολο τιμών της
f.
(Μονάδες 6)
Γ2.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
x 1 2013
x e , x 0
-
=
>
έχει ακριβώς δύο θετικές
ρίζες.
(Μονάδες 6)
Γ3.
Αν x
1
, x
2
με x
1
< x
2
είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ2, να απο-
δείξετε ότι υπάρχει
(
)
0
1 2
x x ,x
Î
τέτοιο ώστε
( ) ( )
0
0
f x f x 2012
¢
+ =
(Μονάδες 6)
Γ4.
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά-
σταση της συνάρτησης
( ) ( )
g x f x 1
= +
με
x 0
>
, τον άξονα
x
ʹ
x
και την ευ-
θεία
x e
=
.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
Γ1.
Η
f
είναι συνεχής στο
(
)
0,
+¥
ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων (
x 1
-
πολυωνυμική ,
lnx
λογαριθμική) και διαφορά της σταθερής 1.
Επιπλέον, είναι παραγωγίσιμη για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
με παράγωγο:
( ) (
)
(
)( )
x 1
1
f x x 1 lnx x 1 lnx lnx
lnx 1
x
x
-
¢
¢
¢
= - + -
= + = + -
Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία της
f
θα βρούμε το πρόσημο της
f
¢
.
Όμως ,για τον υπολογισμό του προσήμου αυτής θα χρειαστούμε το πρό-
σημο της
f
¢¢
.
Έτσι:
( )
2
2
1 1 1 1
f x
0
x x x x
æ ö
¢¢
= - - = + >
ç ÷
è ø
,
για κάθε
x 0
>
.
Άρα η
f
¢
είναι γνησίως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
και από παρατήρηση
( )
1
f 1 ln1 1 0
1
¢
= + - =
, δηλαδή
x 1
=
ρίζα της
f
¢
και μάλιστα είναι μοναδική.
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012