224 / 368
223
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα, το σημείο επαφής είναι πράγματι το
( )
(
)
A 4,f 4
δηλαδή Α(4,2)
με
( )
Α
ε
:
( ) ( )(
)
(
)
1
1
y f 4 f 4 x 4 y 2 x 4 y x 1
4
4
¢
- =
- Û - = - Û = +
.
Επιπλέον, η
f
είναι κοίλη, άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f
θα
είναι κάτω από την γραφική παράσταση της εφαπτομένης με εξαίρεση το
σημείο επαφής. Έτσι το μοναδικό κοινό σημείο της
C
f
με την εφαπτομένη
που άγεται από το Π είναι το σημείο επαφής Α.
Η χρονική επαφή διαρκεί από τη χρονική στιγμή
t 0
=
μέχρι τη χρονική
στιγμή όπου:
( )
1
x t 4 16t 4 t
4
= Û = Û =
άρα
1
t 0,
4
é ù
Î ê ú ë û
οπότε η οπτική επαφή διαρκεί
1
4
min
, δηλαδή 15 δευτερόλεπτα.
Γ3.
Το χωρίο Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα ΠΜ του παρατηρητή από το
σημείο Ο μέχρι το σημείο Α είναι το χωρίο που περικλείεται μεταξύ της
C
f
,
της (ε
Α
) και του
y
΄
y
. Οπότε:
( )
4
3
4
2
2
2
4
3
2
0
0
0
1
x
x
x
2
Ε Ω
x 1 x dx
x
x x
3
4
8
8 3
2
é
ù
ê
ú é
ù
æ
ö
=
+ -
= + - = + -
ê
ú ê
ú
ç
÷
è
ø
ë
û
ê
ú
ë
û
ò
3
2
16 2
2
2
16 2
4 4 2 4 64 6 8 6
8 3
3
3
3 3
= + - = + - = - = - =
m
2
Γ4.
Έστω
( ) ( )
(
)
M x t ,y t
τότε
( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
2
2
2
2
d t
ΠΜ x t y t 1 x t
x t 1
= =
+ - =
+
- =
( ) ( )
( )
2
2
x t x t 2 x t 1 256t 16t 8 t 1
=
+ -
+ =
+ - +
με
1
t 0,
4
é ù
Î ê ú ë û
Είναι
( )
(
)
2
2
2
4
512t 16
256t 16t 8 t 1
t
d t
2 256t 16t 8 t 1 2 256t 16t 8 t 1
¢
+ -
+ - +
¢
=
=
+ - +
+ - +
,
1
t 0,
4
æ ö
Î ç ÷
è ø
Το πρόσημο της
( )
d t
¢
εξαρτάται από τον αριθμητή.