220 / 368
219
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
( )
(
)
x
φ x 0 e 1 x 0 1 x 0 x 1
¢
> Û - > Û - > Û <
·
( )
(
)
x
φ x 0 e 1 x 0 1 x 0 x 1
¢
< Û - < Û - < Û >
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών έχουμε ότι η φ είναι γνησίως αύ-
ξουσα στο
(
]
,1
-¥
, γνησίως φθίνουσα στο
[
)
1,
-¥
και παρουσιάζει ολικό
μέγιστο στο 1 το
( )
φ 1 e 1 0
= - >
.
·
Η φ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο
(
]
1
Δ
,1
= -¥
έτσι :
( )
( ) ( )
(
1
x
φ Δ lim φ x ,φ 1
®-¥
ù
=
û
Όμως
( )
(
)
x
1
x
x
lim
φ x lim 2 x e 1
®-¥
®-¥
é
ù
=
- × - =
ë
û
Αλλά,
(
)
u x
x
x
u
u
x
x
u u
d.L.H.u
2 x
2 u
1
lim 2 x e lim
lim lim 0
e
e
e
+¥
=-
+¥
-
®-¥
®-¥
®+¥ ®+¥
®+¥
-
+
- × =
=
=
=
Άρα,
1
1
= -
,οπότε
( ) (
]
1
φ Δ 1,e 1
= - -
Παρατηρούμε ότι
( )
1
0
φ Δ
Î
άρα υπάρχει ακριβώς ένα
(
]
1
x
,1
Î -¥
,
ώστε
( )
1
φ x 0
=
.
o
Για
( ) ( )
( )
φ
1
1
x x
φ x φ x
φ x 0
< Û < Û <
1
o
Για
( ) ( )
( )
φ
1
1
1 x x
φ x φ x
φ x 0
> > Û > Û >
1
Οπότε, η
( )
( )
(
)
2
x
φ x
f x
e x
¢¢
=
-
έχει μία μόνο ρίζα στο
(
]
,1
-¥
, εκατέρω-
θεν της οποίας αλλάζει πρόσημο, άρα η
f
παρουσιάζει ακριβώς ένα
σημείο καμπής στο
(
]
,1
-¥
.
·
Η φ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο
[
)
2
Δ 1,
= +¥
έτσι :
x
-
¥
1
+
¥
( )
φ x
¢
+
-
φ
1
>