217 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
216
Πράγματι για
x y 0
= =
η
(5)
γίνεται
( )
( )
( ) ( )
f
ξ ξf ξ ξf ξ f ξ 0
¢
¢
- = - Û - =
που
ισχύει όπως δείξαμε παραπάνω.
Δίνεται η συνάρτηση
f :
®
δύο φορές παραγωγίσιμη στο
, με
( ) ( )
f 0 f 0 0
¢
= =
,
η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
( ) ( )
(
)
( )
( )
x
e f x f x 1 f x xf x
¢
¢
¢
¢
+ - = +
για κάθε
x
Î
.
Γ1.
Να αποδείξετε ότι:
( )
(
)
x
f x ln e x
= -
,
x
Î
.
(Μονάδες 8)
Γ2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
(Μονάδες 3)
Γ3.
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία
καμπής.
(Μονάδες 7)
Γ4.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
(
)
x
ln e x
συνx
- =
έχει ακριβώς μία λύση στο
διάστημα
π
0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
Γ1.
Έχουμε
( )
( )
(
)
( )
( )
x
e f x f x 1 f x xf x
¢
¢¢
¢
¢¢
+ - = +
( )
( )
( )
( )
x
x
x
e f x e f x e f x xf x
¢
¢¢
¢
¢¢
Û +
- = +
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
x
x
x
e f x e f x e x f x
¢
¢
¢
¢
¢¢
¢
Û ×
+ ×
- = ×
( )
(
)
( )
(
)
x
x
e f x e x f x
¢
¢
¢
¢
Û ×
- = ×
.
Άρα
( )
( )
x
x
1
e f x e x f x c
¢
¢
×
- = ×
+
με
1
c
Î
(1)
Για
x 0
=
προκύπτει:
( )
( )
0
0
1
1
1
e f 0 e 0 f 0 c 0 1 0 c
1 c
¢
¢
×
- = ×
+ Û - = + Û- =
Επομένως η
(1)
γίνεται
:
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011