213 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
212
(
) (
)
(
) (
)
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2 x dx
x 1 ln x 1
x 1 ln x 1 dx
2
2
-
-
-
¢
é
ù
é
ù
=
+ +
+ -
+
+
ë
û
ë
û
ò
ò
(
) (
)
(
)
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2x
2 x dx
x 1 ln x 1
x 1
dx
2
2
x 1
-
-
-
é
ù
=
+ +
+ -
+
=
ë
û
+
ò
ò
(
)
1
3
1
2
1
1
x
1 1
2 1
4
2
0 x
2
1 1
3 2 2
3 2
3
-
-
é ù
é ù
=
+ × -
= - - =
ê ú
ë û
ë û
.
Δίνεται η συνάρτηση
( ) (
)
f x x 2 lnx x 3
= - + -
,
x 0
>
Γ1.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f.
(Μονάδες 5)
Γ2.
N
α αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
]
0,1
και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
[
)
1,
+¥
.
(Μονάδες 5)
Γ3.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες.
(Μονάδες 6)
Γ4.
Αν
1
x
,
2
x
είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με
1
2
x x
<
, να αποδείξετε ότι
υπάρχει μοναδικός αριθμός
(
)
1 2
ξ x ,x
Î
τέτοιος ώστε
( ) ( )
ξ f ξ f ξ 0
¢×
- =
και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f
στο
σημείο
( )
(
)
Μ ξ,f ξ
διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
Γ1.
Αφού
f
ορίζεται στο
(
)
0,
+¥
και είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών
συναρ-
τήσεων (
x 2
-
πολυωνυμική,
lnx
λογαριθμική,
x 3
-
πολυωνυμική)
κατα-
κόρυφες ασύμπτωτες θα ελέγξουμε μόνο στο 0.
Έτσι
( )
(
)
x 0
x 0
lim f x lim x 2 lnx x 3
+
+
®
®
= é - + - ù = +¥
ë
û
αφού
·
(
)
x 0
lim x 2 2
+
®
- = -
και
x 0
lim lnx=
+
®
-¥
,
άρα
(
)
x 0
lim x 2 lnx
+
®
é - ù = +¥
ë
û
·
(
)
x 0
lim x 3 3
+
®
- = -
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010