210 / 368
209
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες θα ελέγξουμε στο
+¥
.
Αφού
( )
x
lim f x 0
®+¥
=
η ευθεία
y 0
=
(ο άξονας των
x
΄
x
) είναι οριζόντια
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f
στο
+¥
.
γ.
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται :
( )
( )
2
2
f x
α 0 f x α
+ = Û = -
με
x 1
>-
Για
α 0
¹
είναι
2
α 0
- <
άρα
( )
2
α f A
- Î
οπότε υπάρχει τουλάχιστον
ένα
(
)
0
x
1,
Î - +¥
τέτοιο ,ώστε
( )
2
0
f x
α
= -
.
Όμως,
f
γνησίως αύξουσα στο
(
)
- +¥
1,
, άρα
f: 1-1
οπότε υπάρχει μο-
ναδικό
(
)
0
x
1,
Î - +¥
τέτοιο ώστε
( )
2
0
f x
α
= -
.
Τελικά, λοιπόν ,η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο
(
)
- +¥
1,
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
)
2
f x 2x ln x 1
= + +
,
x
Î
Γ1.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.
(Μονάδες 5)
Γ2.
Να λύσετε την εξίσωση:
(
)
(
)
2
2
4
3x 2 1
2 x 3x 2 ln
x 1
é
ù
- +
- + = ê
ú
+ ê
ú
ë
û
(Μονάδες 7)
Γ3.
Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες
της γραφικής παράστασης της f στα σημεία καμπής της τέμνονται σε
σημείο του άξονα
y
΄
y.
(Μονάδες 6)
Γ4.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
1
1
I
x f x dx
-
=
ò
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
Γ1.
Η f είναι συνεχής στο
ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (2
x
συνεχής
ως πολυωνυμική και
(
)
2
ln x 1
+
ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων).
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010