206 / 368
205
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
Α.
Παρατηρούμε ότι
( )
(
)
0
f 0
α ln 0 1 1 0 1
= - + = - =
.
Επομένως,
( )
( ) ( )
f x 1 f x f 0
³ Û ³
,για κάθε
x 1
>-
.
Δηλαδή, η συνάρτηση
f
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για
0
x 0
=
το
( )
f 0 1
=
.
Επιπλέον, η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
f
D 1,
= - +¥
ως διαφορά παραγω-
γίσιμων συναρτήσεων με
( )
(
)
x
x
1
1
f x
α lnα
x 1 α lnα
x 1
x 1
¢
¢
= -
+ = -
+
+
·
Η
f
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0
·
0 εσωτερικό σημείο του
(
)
f
D 1,
= - +¥
·
Η
f
παραγωγίσιμη στο 0
Σύμφωνα με το θεώρημα του
Fermat
έχουμε:
( )
lnx''1 1''
0
1
f 0 0
α lnα
0 lnα 1 0 lnα lne α e
0 1
-
¢
= Û - = Û - = Û = Û =
+
B. α.
Για
α e
=
ο τύπος της
f
είναι:
( )
(
)
x
f x e ln x 1
= - +
.
Η
f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα
(
)
1,
- +¥
με
( )
x
1
f x e
x 1
¢
= -
+
και
( )
(
)
(
)
(
)
x
x
x
2
2
x 1
1
1
f x e
e
e
0
x 1
x 1
x 1
¢
¢
+
æ
ö
¢¢
= -
= +
= +
>
ç
÷+ è
ø
+
+
για
κάθε
(
)
x 1,
Î - +¥
αφού
x
e 0
>
και
(
)
2
1
0
x 1
>
+
για κάθε
x
Î
.
Άρα η
f
είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της .
β.
Αφού η συνάρτηση
f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
(
)
f
D 1,
= - +¥
με
( )
f x 0
¢¢
>
η
( )
x
1
f x e
x 1
¢
= -
+
είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
αυτό. Παρατηρούμε ότι
( )
0
1
f 0 e
1 1 0
0 1
¢
= - = - =
+
και
f
¢
γνησίως αύ-
ξουσα άρα η
f
΄μηδενίζεται μόνο για
x 0
=
.