209 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
208
●
Για
λ 1
= -
είναι
x
x 1
lim 1
x 2
®+¥
+
=
=
+
οπότε
( )
( )
x
θ 1
lim f x 1lim ln
θ 0
®+¥
®
=
= Î
Τελικά, λοιπόν,
είναι
λ 1
= -
Β. α.
Για
λ 1
= -
έχουμε ότι
( )
x 1
f x ln
x 2
+
=
+
με
x 1
>-
.
Η
f
είναι συνεχής στο
(
)
1,
- +¥
ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων (
lnx
λογαριθμική,
x 1
x 2
+
+
πηλίκο πολυωνυμικών)
Επίσης, η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
1,
- +¥
( )
(
)
(
)(
)
2
1 x 1 x 2 x 2 x 1
1
f x
x 1 x 2 x 1
x 1 x 2
x 2
x 2
¢ +
+ + - -
æ
ö
=
= ×
=
ç
÷
+ +
+
+ +
è
ø
+
+
για
x 1
>-
Άρα,
f
γνησίως αύξουσα στο
(
)
1,
- +¥
και αφού είναι συνεχής έχουμε
( )
( )
( )
(
)
x
x 1
f
Α lim f x , lim f x
+
®+¥
®-
=
Στο
Α)
ερώτημα δείξαμε ότι
( )
x
lim f x 0
®+¥
=
Ακόμη
( )
x 1
x 1
x 1
lim f x lim ln
x 2
+
+
®-
®-
+æ
ö
=
= ç
÷+è
ø
Θέτουμε
x 1
u
x 2
+
=
+
με
1
x 1
lim
0
x 2
+
®-
+æ
ö = ç
÷ +è
ø
x
Επίσης για
x
κοντά στο
-
1 με
x 1 x 1 0
> - Û + >
άρα
x 1
0
x 2
+
>
+
Οπότε
u 0
+
®
άρα
( )
u 0
lim ln u
+
®
=
= -¥
Τελικά, λοιπόν,
( ) (
)
f
Α
,0
= -¥
β.
Αφού
f
συνεχής στο
(
)
1,
- +¥
κατακόρυφη ασύμπτωτη θα ελέγξουμε στο
-1.
Είναι
( )
x 1
lim f x
+
®-
= -¥
οπότε
η ευθεία
x 1
=-
είναι κατακόρυφη ασύμπτω-
τη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f
.