204 / 368
203
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
2
x 0
2
2
2x 2
f x 0
2x 2 0 x 1 x 1
x
>
-
¢
> Û Û - > Û > Û >
( )
2
x 0
2
2
2x 2
f x 0
2x 2 0 x 1 0 x 1
x
>
-
¢
< Û Û - < Û < Û < <
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών συμπεραίνουμε ότι η
f
παρουσιά-
ζει τοπικό ελάχιστο, το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο, στο
0
x 1
=
.
Οπότε για κάθε
x 0
>
θα είναι
( ) ( )
( )
( )
2
f x f 1 f x 1 ln1 f x 1
³ Û ³ - Û ³
και
αποδείχτηκε το ζητούμενο.
β.
Αφού
f
συνεχής στο
(
)
0,
+¥
κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε στο 0
.
Έτσι λοιπόν για
x
κοντά στο 0 με
x 0
>
έχουμε
( )
(
)
( )
2
x 0
x 0
lim f x lim x 2lnx 0 2
+
+
®
®
=
- = - × -¥ = +¥
Άρα η ευθεία
x 0
=
αποτελεί κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παρά-
στασης της
f
.
Οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες θα αναζητήσουμε στο
+¥
.
Έτσι λοιπόν για
x
Μ
>
με
*
Μ
+
Î
αρκούντος μεγάλο έχουμε:
( )
2
2
x
x
x
x
f x
x 2lnx
x lnx
lnx
lim lim
lim 2
lim x 2
L
x
x
x x
x
®+¥
®+¥
®+¥
®+¥
æ
ö
-
æ
ö
=
=
- =
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Όμως
x
D.L.H. x
2lnx
2
lim
lim 0
x
x
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®+¥
®+¥
æ
ö
æ ö
=
=
ç
÷
ç ÷
è
ø
è ø
οπότε
L
=+¥
άρα η γραφική παράσταση
της
f
δεν έχει ασύμπτωτη στο
+¥
.
x
0 1
+¥
( )
f x
¢
-
+
f
>
1