200 / 368
199
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Αρκεί να δείξουμε ότι:
( )
( ) ( )
x 0
x 0
limf x lim f x f 0 0
+
®
®
=
= =
( )
(
)
( )
D.L.H.
x 0
x 0
x 0
2
x 0
x 0
x 0
1
lnx
lnx
x
lim f x lim x lnx lim lim lim lim ( x) 0
1
1
1
x
x
x
-¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
+
+
+
®
®
®
+
+
+
®
®
®
¢
=
×
=
=
=
= - =
¢ æ ö
-
ç ÷
è ø
Συνεπώς,
f
συνεχής στο 0.
β.
Η
f
είναι συνεχής στο
(
)
0,
+¥
ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων (
x
συνε-
χής ως πολυωνυμική και της
lnx
συνεχής ως λογαριθμική) και επιπλέον συ-
νεχής στο 0 λόγω του
α.
ερωτήματος, άρα
f
συνεχής στο
[
)
0,
+¥
.
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με
( ) ( )
( )
1
f x x lnx x lnx lnx x lnx 1
x
¢
¢
¢
=
+
= + × = +
Είναι:
( )
lnx''1 1''
1
1
f x 0 lnx 1 0 lnx 1 lnx lne
x
e
-
-
¢
= Û + = Û = - Û =
Û =
( )
lnx
1
1
f x 0 lnx 1 0 lnx 1 lnx lne x
e
-
¢
> Û + > Û > - Û > Û >
1
( )
lnx
1
1
f x 0 lnx 1 0 lnx 1 lnx lne 0 x
e
-
¢
< Û + < Û < - Û < Û < <
1
β.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση
f
και να βρείτε το
σύνολο τιμών της.
(Μονάδες 9)
γ.
Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης
α
x
x e
=
για όλες τις πραγματικές τιμές του α.
(Μονάδες 6)
δ.
Να αποδείξετε ότι ισχύει
(
) (
) ( )
f x 1 f x 1 f x
¢ + > + -
,
για κάθε
x 0
>
.
(Μονάδες 7)