195 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
194
Ισχύουν ,δηλαδή, οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος
Rolle
, οπότε υπάρχει
τουλάχιστον ένα
(
)
1 2
ξ x ,x
Î
τέτοιο, ώστε
( )
f
ξ 0
¢
=
κάτι που είναι ΑΤΟΠΟ,
αφού
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
x
Î
.
Τελικά, λοιπόν, η συνάρτηση
f
είναι 1
-1.
β.
Αφού το σημείο
(
)
A 1,2005
ανήκει στη γραφική παράσταση της
f
,είναι
( )
f 1 2005
=
(1)
Επίσης, αφού το σημείο
(
)
B 2,1
-
ανήκει στη γραφική παράσταση της
f
εί-
ναι
( )
f 2 1
- =
(2)
καθώς και
( )
1
f 1 2
-
= -
(3)
Για την εξίσωση λοιπόν έχουμε
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
1
2
1
2
1
f
2004 f x 8 2 f
2004 f x 8 f 1
-
-
-
- + - = - Û - + - =
(
)
1
f :"1 1"
2
2004 f x 8 1
-
-
Û - + - =
(
)
( )
(
)
( )
1
2
2
f x 8 2005 f x 8 f 1
Û - = Û - =
f:"1 1"
2
2
x 8 1 x 9 x 3
ή x 3
-
Û - = Û = Û = = -
Επειδή δεν αναφέρεται το σύνολο όπου επιλύουμε την εξίσωση, θα πρέπει
να κάνουμε επαλήθευση.
Για
x 3
= ±
η αρχική εξίσωση γίνεται:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
1
f
2004 f 3 8 2 f
2004 f 9 8 2
-
-
- + ± - = - Û - + - = - Û
( )
(
)
1
f
2004 f 1 2
-
Û - + = -
( )
( )
f 1 2005
1
f 1 2
=
-
Û = -
που ισχύει.
γ.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
0
x
Î
τέτοιο, ώστε
( )
( )
0
0
1
f x
1 f x 668
668
æ
ö
¢
¢
- = - Û =
ç
÷
è
ø
.
Έστω η συνάρτηση
( ) ( )
h x f x 668x
= -
με
h
D
=
·
h
συνεχής στο
[
]
2,1
-
ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (
f(x)
συνεχής
,αφού είναι παραγωγίσιμη και
668x
συνεχής ως πολυωνυμική)