192 / 368
191
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Είναι
(
)
2
α
2
α
α
α
2
α 7α 7
lim e 2
α 7α 7 lim
e
-
®-¥
®-¥
- + -
é
ù
- + - =
ë
û
2
θ α α θ
θ
θ
θ
θ
θ
D.L.H. θ
D.L.H. θ
2
θ 7θ 7
4θ 7
4
lim
lim
lim 0
e
e
e
-¥
-¥
=- Û =-
+¥
+¥
®+¥ ®+¥
®+¥
®+¥
- - -
- -
-
=
=
=
=
Οπότε
( )
α
lim
Ι α 7
®-¥
=
.
Δίνεται η συνάρτηση
f
με τύπο
( )
λx
f x e
=
,
λ 0
>
.
α.
Δείξτε ότι η
f
είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες 3)
β.
Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
f
, η
οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η
y
λex
=
.
Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής
M
.
(
Μονάδες 7
)
γ.
Δείξτε
ότι το εμβαδόν
( )
E
λ
του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της
γραφικής παράστασης της
f
, της εφαπτομένης της στο σημείο
Μ
και του
άξονα
'
y y
, είναι
-
=
e 2
E(
λ)
2
λ
.
(
Μονάδες 8
)
δ.
Υπολογίστε το
( )
2
λ
λ E λ
lim
2
ημ λ
®+¥
×
+
(
Μονάδες 7
)
Απάντηση:
α.
H
f
είναι παραγωγίσιμη στο
!
ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων
(
x
e
εκθετική και
λx
πολυωνυμική) με
( )
( )
( )
λx
λx
λx
f x e
λx e λe 0
¢
¢
¢
= =
= >
για κάθε
x
Î
αφού
λ 0
>
Άρα,
f
γνησίως αύξουσα στο
.
β.
Έστω
( )
(
)
0
0
Μ x ,f x
.
Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο
M
είναι
(ε):
( ) ( )(
)
(
)
0
0
λx
λx
0
0
0
0
y f x f x x x
y e
λe x x
¢
- =
- Û - =
-
.
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005