196 / 368
195
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
h
παραγωγίσιμη στο
(
)
2,1
-
με
( ) ( )
h x f x 668
¢
¢= -
·
( ) ( )
( )
h 2 f 2 668 2 1 1336 1337
- = - - × - = + =
( ) ( )
( )
h 1 f 1 668 1 2005 668 1337
= - ×
= - =
Οπότε
( ) ( )
h 2 h 1
- =
.
Σύμφωνα με το Θεώρημα
Rolle
υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
0
x
2,1
Î -
τέ-
τοιο ώστε:
( )
( )
( )
0
0
0
h x 0 f x 668 0 f x 668
¢
¢
¢
= Û - = Û =
.
Δίνεται η συνάρτηση:
( )
3
2
f x 3x 3x 2
ημ θ
= - -
όπου
θ
Î
μια σταθερά με
π
θ κπ , κ
2
¹ + Î
.
α.
Να αποδειχθεί ότι η
f
παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχι-
στο και ένα σημείο καμπής.
(Μονάδες 7)
β.
Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρί-
ζες.
(Μονάδες 8)
γ.
Αν
1 2
x , x
είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και
3
x
η θέση του ση-
μείου καμπής της
f
, να αποδειχθεί ότι τα σημεία
( )
(
)
1
1
Α x ,f x
,
( )
(
)
2
2
Β x ,f x
και
( )
(
)
3
3
Γ x ,f x
βρίσκονται στην ευθεία
2
y 2x 2
ημ θ
= - -
.
(Μονάδες 3)
δ.
Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης
f
και την ευθεία
2
y 2x 2
ημ θ
= - -
.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α.
H f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο
!
ως πολυωνυμική, με
( )
(
)(
)
2
f x 3x 3 3 x 1 x 1
¢
= - = - +
Οπότε
( )
(
)(
)
f x 0 3 x 1 x 1 0 x 1
ή x 1
¢
= Û - + = Û = - =
και
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007