198 / 368
197
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επειδή
( )
1
0 f
Δ
Î
, υπάρχει
(
]
1
ρ
, 1
Î -¥ -
, ώστε
( )
1
f
ρ 0
=
. Η ρίζα ρ
1
είναι
και μοναδική στο
(
]
, 1
-¥ -
, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη-
μα αυτό.
·
Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο
(
)
2
Δ 1,1
= -
άρα:
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
x 1
x 1
f
Δ limf x , lim f x f 1 ,f 1
® ®-
=
=
-
Όμως,
( )
(
)
2
f 1 2 1
ημ θ 0
= - + <
και
( )
2
f 1 2
συν θ 0
- =
>
Οπότε,
( )
(
)
(
)
2
2
2
f
Δ 2 1 ημ θ ,2συν θ
= - +
Επειδή
( )
2
0 f
Δ
Î
, υπάρχει
(
)
2
ρ 1,1
Î -
, ώστε
( )
2
f
ρ 0
=
και μάλιστα μονα-
δική, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.
·
Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο
[
)
3
Δ 1,
= +¥
άρα:
( )
( )
( )
)
3
x
f
Δ f 1 , lim f x
®+¥
é=
ë
Όμως,
( )
(
)
2
f 1 2 1
ημ θ 0
= - + <
και
( )
( )
3
x
x
lim f x lim x
®+¥
®+¥
=
= +¥
Οπότε
( )
( )
( )
)
(
)
)
2
3
x
f
Δ f 1 , lim f x
2 1 ημ θ ,
®+¥
é
é
=
= - + +¥
ë
ë
Επειδή
( )
3
0 f
Δ
Î
, υπάρχει
[
)
3
ρ 1,
Î +¥
, ώστε
( )
3
f
ρ 0
=
.
Επιπλέον η ρίζα
αυτή είναι μοναδική στο
3
Δ
, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο διά-
στημα αυτό
.
Τελικά η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει ακριβώς 3 ρίζες στο
!
.
γ.
Τα σημεία Α, Β,
Γ είναι :
(
)
2
Α 1,2συν θ
-
,
(
)
(
)
2
Β 1, 2 1 ημ θ
- +
,
(
)
2
Γ 0, 2ημ θ
-
Για να ανήκουν στην ευθεία, αρκεί οι συντεταγμένες τους να
επαληθεύουν
την εξίσωσή της . Έτσι, έχουμε:
Για το σημείο Α:
( )
2
2
2
y 2x 2
ημ θ 2συν θ 2 1 2ημ θ
= - - Û = - - -
(
)
2
2
2
2
2
συν θ 2 1 ημ θ 2συν θ 2συν θ
Û = - Û =
Για το σημείο Β:
(
)
( )
2
2
2
y 2x 2
ημ θ 2 1 ημ θ 2 1 2ημ θ
= - - Û- + = - -