203 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
202
Δίνεται η συνάρτηση
( )
2
f x x 2lnx
= -
με
x 0
>
α.
Να αποδείξετε ότι ισχύει
( )
f x 1
³
για κάθε
x 0
>
(Μονάδες 6)
β.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f.
(Μονάδες 6)
γ.
Έστω η συνάρτηση
( )
g x
=
( )
lnx
, x 0
f x
k , x 0
ì
>
ï
í
ï
=
î
i.
Να βρείτε την τιμή του
k
ώστε η
g
να είναι συνεχής
(Μονάδες 6)
ii.
Αν
1
k
2
= -
, τότε να αποδείξετε ότι η
g
έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο
διάστημα
( )
0,e
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α.
Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
f
έχουμε ότι
x 0
>
, άρα
(
)
f
D 0,
= +¥
Η
f
είναι συνεχής στο
(
)
0,
+¥
ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων
(
2
x
πο-
λυωνυμική και
2lnx
λογαριθμική).
Επίσης, η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
ως διαφορά παραγωγίσιμων
συναρτήσεων με:
( )
(
)
2
2
2 2x 2
f x x 2lnx 2x
x x
-
¢
¢
= -
= - =
( )
2
2
2
απορρίπτεται
2x 2
f x 0
0 2x 2 0 x 1 x 1
ή x 1
x
-
¢
= Û = Û - = Û = Û =
= -
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008