205 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
204
γ.
i.
Αφού η
g
είναι συνεχής στο
[
)
g
D 0,
= +¥
θα είναι συνεχής και στο
1
x 0
=
οπότε
( ) ( )
( )
x 0
x 0
limg x g 0
κ limg x
®
®
= Û =
Όμως,
( )
( )
( )
( )
x 0
x 0
D.L.H x 0
x 0
x 0
1
lnx
1
1
x
limg x lim lim lim lim
f x
f x
xf x
x
-¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®
®
®
®
®
=
=
=
=
¢
¢
2
2x 2
x
-
2
x 0
1
1
lim
2x 2 2
®
=
= -
-
Τελικά
1
κ
2
= -
.
ii.
•
g
συνεχής στο
[ ] [
)
0,e 0,
Í +¥
·
( )
1
g 0
0
2
= - <
και
( )
( )
2
lne 1
g e
0
f e e 2
= = >
-
οπότε
( ) ( )
g 0 g e 0
<
Σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano
η
g
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
( )
0,e
.
Δίνεται η συνάρτηση:
( )
(
)
x
f x
α ln x 1 , x 1
= - + > -
όπου
α 0
>
και
α 1
¹
.
A.
Αν ισχύει
( )
f x 1
³
για κάθε
x 1
>-
να αποδείξετε ότι
α e
=
.
(Μονάδες 8)
Β.
Για
α e
=
,
α.
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι κυρτή.
(Μονάδες 5)
β.
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστη-
μα
(
]
1,0
-
και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
[
)
0,
+¥
.
(Μονάδες 6)
γ.
αν
(
) (
)
β, γ 1,0 0,
Î - È +¥
,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
( )
( )
f
β 1 f γ 1
0
x 1 x 2
-
-
+
=
-
-
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
( )
1,2
.
(Μονάδες 6)
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009