211 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
210
Η f είναι παραγωγίσιμη στο
με
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
x 1
2 x x 1
2x 2x 2x 2
f x 2
2
x 1
x 1 x 1
x 1
¢ +
+ +
+ +
¢
= +
= + =
=
+
+
+
+
.
Το πρόσημο της
f
΄ εξαρτάται από το πρόσημο του
2
x x 1
+ +
γιατί
2
x 1 0
+ >
για κάθε
x
Î
.
Είναι
2
Δ 1 4 1 1 3 0
= - × × = - <
άρα,
2
x x 1 0
+ + >
,
για κάθε
x
Î
.
Έτσι,
( )
f x 0
¢
>
για κάθε
x
Î
επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Γ2.
Πρέπει
(
)
2
4
3x 2 1
0
x 1
- +
>
+
που ισχύει για κάθε
x
Î
,
αφού
(
)
2
3x 2 1 0
- + >
4
x 1 0
+ >
για κάθε
x
Î
. Έτσι ,η εξίσωση θα λυθεί στο
.
Έχουμε ισοδύναμα :
(
)
(
)
2
2
4
3x 2 1
2 x 3x 2 ln
x 1
é
ù
- +
- + = ê
ú
+ ê
ú
ë
û
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
3x 2 1 0
2
2
4
x 1 0
2 x 3x 2 ln 3x 2 1 ln x 1
- + >
+ >
é
ù
Û - + = - + - +
ë
û
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2x 2 3x 2 ln 3x 2 1 ln x 1
é
ù
Û - - =
- + - +
ë
û
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2x ln x 1 ln 3x 2 1 2 3x 2
é
ù
Û + + =
- + + -
ë
û
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2x ln x 1 2 3x 2 ln 3x 2 1
é
ù
Û + + = - +
- +
ë
û
( )
(
)
2
f
f
x D
2
3x 2 D
f x f 3x 2
Î
- Î
Û = -
(1)
Όμως, η f είναι γνησίως αύξουσα άρα θα είναι και 1
-1.
Όποτε
(1)
f''1 1''
2
2
x 3x 2 x 3x 2 0 x 1
ή x 2
-
Û = - Û - + = Û = =
Γ3.
Η συνάρτηση
f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
με
( )
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
x x 1 x x 1
2x
x
f x 2
2
2
x 1
x 1
x 1
¢
¢
¢
¢
+ - +
æ
ö æ
ö
¢¢
= +
=
=
ç
÷ ç
÷
+
+
è
ø è
ø
+