214 / 368
213
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επομένως η ευθεία
x 0
=
(ο άξονας
y
΄
y
) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της
συνάρτησης
f.
Πλάγιες – Οριζόντιες ασύμπτωτες αναζητούμε στο
+¥
( )
(
)
x
x
x
f x
x 2 lnx x 3
xlnx 2lnx x 3
lim lim
lim
x
x
x
®+¥
®+¥
®+¥
- + -
- + -
=
=
1
x
lnx
3
lim lnx 2 1
x
x
®+¥
æ
ö
=
- + - =
ç
÷
è
ø
Όμως
( )
( )
x
d.L.H. x
x
lnx
lnx
1
lim lim lim 0
x
x
x
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®+¥
®+¥
®+¥
¢
=
= =
¢
άρα
1
= +¥
Οπότε η
f
C
δεν έχει πλάγιες – οριζόντιες ασύμπτωτες στο
+¥
.
Γ2.
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
0,
+¥
με
( ) (
)
x 2 xlnx 2x 2
f x x 2 lnx x 3 lnx
1
x
x
-
+ -
¢
¢
= é - + - ù = + + =
ë
û
Το πρόσημο της
( )
f x
¢
εξαρτάται από τον αριθμητή γιατί
x 0
>
.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
g x xlnx 2x 2
= + -
με
x 0
>
·
Παρατηρούμε ότι
( )
g 1 1 ln1 2 1 2 0
= ×
+ × - =
·
Για
0 x 1
< <
είναι
lnx 0
<
άρα
xlnx 0
<
(1)
και
(
)
2x 2 2 x 1 0
- = - <
(2)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις
(1)
και
(2)
έχουμε
( )
xlnx 2x 2 0 g x 0
+ - < Û <
·
Για
x 1
>
είναι
lnx 0
>
άρα
xlnx 0
>
(3)
και
(
)
2x 2 2 x 1 0
- = - >
(4)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις
(3)
και
(4)
έχουμε :
( )
xlnx 2x 2 0 g x 0
+ - > Û >
x
0 1
+¥
( )
f x
¢
-
+
f
>
1