215 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
214
Οπότε η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
]
0,1
(αφού
f
συνεχής
(
]
0,1
και
( )
f x 0
¢
<
στο
( )
0,1
) και είναι γνησίως αύξουσα στο
[
)
1,
+¥
(αφού
f
συ-
νεχής
[
)
1,
+¥
και
( )
f x 0
¢
>
στο
(
)
1,
+¥
)
Γ3.
Έστω
( )
1
Δ 0,1
=
και
[
)
2
Δ 1,
= +¥
Αφού
f
γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο
( )
1
Δ 0,1
=
θα είναι
( )
( )
( )
(
)
1
x 1
x 0
f
Δ lim f x , lim f x
-
+
®
®
=
Όμως
( )
(
)
x 1
x 1
lim f x lim x 2 lnx x 3 2
-
-
®
®
= é - + - ù = -
ë
û
και
( )
(
)
x 0
x 0
lim f x lim x 2 lnx x 3
+
+
®
®
= é - + - ù = +¥
ë
û
Άρα,
( ) (
)
1
f
Δ 2,
= - +¥
.
Αφού
f
γνησίως αύξουσα και συνεχής στο
[
)
2
Δ 1,
= +¥
θα είναι
( )
( )
( )
)
2
x
f
Δ f 1 , lim f x
®+¥
é=
ë
Όμως,
( )
f 1 2
= -
και
( )
(
)
x
x
lim f x lim x 2 lnx x 3
®+¥
®+¥
= é - + - ù = +¥
ë
û
.
Άρα
( )
[
)
2
f
Δ 2,
= - +¥
Έτσι, λοιπόν
:
·
Αφού
( )
1
0 f
Δ
Î
και
f
γνησίως φθίνουσα στο
( )
1
Δ 0,1
=
η
f
έχει ακρι-
βώς μία ρίζα στο
( )
1
Δ 0,1
=
·
Αφού
( )
2
0 f
Δ
Î
και
f
γνησίως αύξουσα στο
[
)
2
Δ 1,
= +¥
η
f
έχει ακρι-
βώς μία ρίζα στο
[
)
2
Δ 1,
= +¥
Οπότε η
f
έχει ακριβώς 2 ρίζες στο
(
)
0,
+¥
δηλαδή 2 θετικές ρίζες.
Γ4.
Αφού
1
x
,
2
x
οι ρίζες του ερωτήματος
Γ3
με
1
2
x x
<
και η
f
έχει μία ρίζα
στο
( )
1
Δ 0,1
=
θα είναι
( )
1
x 0,1
Î
.
Επιπλέον, αφού η
f
έχει μία ρίζα στο
[
)
2
Δ 1,
= +¥
θα είναι
[
)
2
x 1,
Î +¥
.
Όμως
( )
f 1 2 0
= - ¹
άρα
2
x 1
¹
οπότε
[
)
2
x 1,
Î +¥
.