218 / 368
217
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
e f x e x f x 1 e f x x f x e 1
¢
¢
¢
¢
×
- = ×
- Û ×
- ×
= -
( )
(
)
x
x
f x e x e 1
¢Û - = -
(2)
Έστω
( )
x
h x e x,
= -
h
D
=
παραγωγίσιμη στο
με
( )
x
h x e 1
¢
= -
.
Οι ρίζες και το πρόσημο της παραγώγου είναι:
·
( )
x
e 1 1
x
x
0
h x 0 e 1 e e
x 0.
-
¢
= Û = Û = Û =
·
x
e
x
x
0
h (x) 0 e 1 e e
x 0
¢ > Û > Û > Û >
1
.
·
x
e
x
x
0
h (x) 0 e 1 e e
x 0
¢ < Û < Û < Û <
1
.
Η
h
είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
(
]
,0
-¥
και γνησίως αύξουσα
στο διάστημα
[
)
0,
+¥
.
Η
h
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 το
( )
0
h 0 e 0 1
= - =
συνεπώς
( ) ( )
( )
x
h x h 0 1 0 h x 0 e x 0
³ = > Û > Û - >
για κάθε
x
Î
.
Έτσι, η σχέση
(2)
γίνεται:
( )
(
)
x
x
f x e x e 1
¢
- = -
( )
( )
(
)
x
x
x
e 1
f x
f x ln e x
e x
-
¢
é
ù
¢
¢
Û = Û =
- ë
û
-
Άρα
( )
(
)
x
2
f x ln e x c
= - +
Για
x 0
=
προκύπτει
( )
0
2
2
2
f 0 ln(e 0) c 0 ln1 c c 0
= - + Û = + Û =
.
Έτσι
( )
(
)
x
f x ln e x
= -
.
Γ2.
Είναι
( )
(
)
( )
( )
x
x
x
h x
e 1
f
΄ x ln e x
e x h x
¢
- ¢
é
ù
=
- = =
ë
û
-
.
x
-
¥
0
+
¥
( )
h x
¢
-
+
h
>
1