Μαθηματικά Γ' Λυκείου

216 / 368

215
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )f x
h x
x
= με ( )
h D 0,= +¥
· h συνεχής στο [ ]
1 2 x ,x ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων
· h παραγωγίσιμη στο ( )
1 2 x ,x με ( ) ( ) ( )
2
xf x f x
h x
x
¢ -
¢ =
· ( ) ( )1
1
1
f x
h x 0
x
= = και ( ) ( )2
2
2
f x
h x 0
x
= = δηλαδή ( ) ( )1 2 h x h x=
Από θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )
1 2 ξ x ,xÎ τέτοιο, ώστε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
ξf ξ f ξ
h ξ 0 0 ξf ξ f ξ 0
ξ
¢ -
¢ ¢ = Û = Û - =
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )
φ x xf x f x¢ = - με x 0>
Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xlnx 2x 2
φ x f x xf x f x xf x x
x
¢
+ - æ ö
¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ = + - = = ç ÷
è ø
( ) ( )
2
xlnx 2x 2 x xlnx 2x 2
x
x
¢
+ - - + -
=
( )
lnx 3 x xlnx 2x 2
x
+ - - +
=
xlnx 3x xlnx 2x 2 x 2
0
x x
+ - - + +
= = > για κάθε x 0> .
Οπότε η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα υπάρχει το πολύ ένα ( )
1 2 ξ x ,xÎ
τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )
φ ξ 0 ξf ξ f ξ 0¢ = Û - = .
Τελικά, λοιπόν, υπάρχει μοναδικό ( )
1 2 ξ x ,xÎ τέτοιο, ώστε
( ) ( )
ξf ξ f ξ 0¢ - =
Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ( ) ( )
Μ ξ,f ξ είναι
( ) ( ) ( )( )
Μ ε : y f ξ f ξ x ξ¢ - = - (5)
Για να διέρχεται η ( )Μ ε από την αρχή των αξόνων αρκεί οι συντεταγμένες
του ( )
Ο 0,0 ) να επαληθεύουν την εξίσωσή της.