221 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
220
( )
( ) ( )
(
2
x
φ Δ lim φ x ,φ 1
®+¥
ù
=
û
Όμως
( )
(
)
x
x
x
lim
φ x lim 2 x e 1
®+¥
®+¥
é
ù
=
- × - = -¥
ë
û
.
Άρα,
( ) (
]
2
φ Δ
,e 1
= -¥ -
.
Παρατηρούμε ότι
( )
2
0
φ Δ
Î
άρα υπάρχει ακριβώς ένα
[
)
2
x 1,
Î +¥
ώστε
( )
2
φ x 0
=
.
o
Για
2
1 x x
< <
είναι
( ) ( )
( )
2
φ x φ x
φ x 0
> Û >
o
Για
2
x x
>
είναι
( ) ( )
( )
2
φ x φ x
φ x 0
< Û <
Έτσι,
ισοδύναμα η
( )
( )
(
)
2
x
φ x
f x
e x
¢¢
=
-
έχει μία μόνο ρίζα στο
[
)
1,
+¥
,
εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει
άρα η
f
παρουσιάζει ακριβώς ένα
σημείο καμπής στο διάστημα αυτό.
Τελικά, η
f
C
έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής στις θέσεις
1 2
x , x
.
Γ4.
Θέτουμε
( )
(
)
( )
x
g x ln e x
συνx f x συνx,
= - - = -
x
Î
·
Η g είναι συνεχής στο
π
0,
2
é ù Í ê ú ë û
ως διαφορά συνεχών, (
f
συνεχής ως
παραγωγίσιμη και
συν x
ως τριγωνομετρική)
·
( ) ( )
(
)
0
g 0 f 0
συν0 ln e 0 1 ln1 1 1 0
= - = - - = - = - <
π π
π π
g
f
συν f
0
2 2
2 2
æ ö æ ö
æ ö
= - = >
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø
è ø
,
αφού
f
π
π
π
0 f
f(0) f
0
2
2
2
æ ö
æ ö
> Þ > Þ >
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
1 g
Έτσι
( )
π
g 0 g
0
2
æ ö
×
< ç ÷
è ø
, οπότε, σύμφωνα του Θεώρημα Bolzano, υπάρχει
τουλάχιστον ένα
0
π
x 0,
2
æ ö
Î ç ÷
è ø
τέτοιο ώστε
( )
0
g x 0
=
.
Μοναδικότητα: