223 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
222
Γ2.
Να αποδείξετε ότι το σημείο της καμπύλης μέχρι το οποίο ο παρατηρητής
έχει οπτική επαφή με το κινητό είναι το Α(4,2) και, στη συνέχεια, να υπο-
λογίσετε πόσο χρόνο διαρκεί η οπτική επαφή.
(Μονάδες 6)
Γ3.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει η οπτική ακτίνα
ΠΜ του παρατηρητή από το σημείο Ο μέχρι το σημείο Α.
(Μονάδες 6)
Γ4.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή
0
1
t
0,
4
æ ö
Î ç ÷
è ø
, κατά την οποία η
απόσταση
( )
d
ΠΜ
=
του παρατηρητή από το κινητό γίνεται ελάχιστη.
(Μονάδες 8)
Να θεωρήσετε ότι το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π είναι σημεία του συ-
στήματος συντεταγμένων Ο
xy.
Απάντηση:
Γ1.
Αφού
( )
( ) ( )
x t 16 x t 16t
¢
¢
¢
= Û =
άρα
( )
x t 16t c
= +
, c
Î
.
Όμως,
( )
x 0 0
=
άρα,
c 0
=
, δηλαδή
( )
x t 16t
=
.
Γ2.
Αρκεί να δείξουμε ότι η εφαπτομένη της
f
C
από το Π εφάπτεται της
f
C
στο
Α και δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της
f.
Η
( )
f x x
=
έχει
[
)
f
D 0,
= +¥
, είναι συνεχής στο
f
D
και παραγωγίσιμη
στο
(
)
0,
+¥
με
( )
1
f x
2 x
¢
=
,
x 0
>
.
Έστω
( )
(
)
0
0
A x ,f x
το σημείο επαφής με
0
x 0
>
.
Οπότε
( )
Α
ε
:
( ) ( )(
)
0
0
0
y f x f x x x
¢
- =
-
Όμως
( ) ( )
Α
Π 0,1 ε
Î
άρα
( ) ( )( )
( )
0
0
0
0
0
0
1
f x f x x 1 x
x
2 x
¢
- =
- Û - =
- Û
2
0
0
0
0
0
0
2 x 2 x
x 2 x 2x x
Û -
= - Û - = - Û
2
0
0
0
0
0
0
2 x x x 2 x 0 x 2 x 0
Û = Û - = Û - = Û
(
)
0
x 0
0
0
0
0
x x 2 0 x 2 x 4
>
Û - = Û = Û =