228 / 368
227
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
f x 2012
Û =
Όμως , στο
Γ
1
ερώτημα υπολογίσαμε τα επιμέρους σύνολα τιμών της συ-
νάρτησης
f
από τα οποία προκύπτει:
Ø
( )
[
)
1
2012 f
Δ 1,
Î = - +¥
, επομένως υπάρχει
(
]
1
1
x
Δ 0,1
Î =
τέτοιο, ώστε
( )
1
f x 2012
=
και
f
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό άρα
1
x
μο-
ναδικό.
Ø
( )
[
)
2
2012 f
Δ 1,
Î = - +¥
, επομένως υπάρχει
[
)
2
2
x
Δ 1,
Î = +¥
τέτοιο,
ώστε
( )
2
f x 2012
=
και
f
γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό άρα
2
x
μοναδικό.
Τελικά, η εξίσωση
( )
x 1 2013
f x 2012 x e
-
= Û =
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες
.
Γ3.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
x
x
h x e f x 2012e
=
-
με
(
)
h
D 0,
= +¥
·
Η
h
είναι συνεχής στο
[
]
1 2
x ,x
ως
διαφορά συνεχών συναρτήσεων
της
( )
x
e f x
γινόμενο εκθετικής
και της
f
και της
x
2012e
εκθετι-
κής
·
Η
h
είναι παραγωγίσιμη στο
(
)
1 2
x ,x
ως πράξεις παραγωγίσι-
μων
συναρτήσεων
με
( )
( ) ( )
(
)
x
h x f x f x 2012 e
¢
¢ = + -
.
·
( )
( )
1
1
1
1
x
x
x
x
1
1
h x e f x 2012 e 2012 e 2012 e 0
=
- ×
= ×
- ×
=
( )
( )
2
2
2
2
x
x
x
x
2
2
h x e f x 2012 e 2012 e 2012 e 0
=
- ×
= ×
- ×
=
Σύμφωνα με το θεώρημα
Rolle
υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
0
1 2
x x ,x
Î
:
( )
0
h x 0
¢
= Û
(
)
0
0
x
0
x
0
0
e
e f (x ) f(x ) 2012 0
¹
¢
+ - = Û
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
f x f x 2012 0 f x f x 2012
¢
¢
Û + - = Û + =
A
ντιπαραγώγιση
στο πρόχειρο
Θέτουμε
0
x x
®
( ) ( )
f x f x 2012
¢
+ = Û
( )
( )
x
e
x
x
x
e f x e f x 2012e
×
¢Û + =
( )
( )
x
x
x
e f x e f x 2012e 0
¢
Û + -
=
( )
(
)
x
x
e f x
2012e 0
¢
¢
é
ù
Û -
=
ë
û
( )
(
)
x
x
e f x 2012e 0
¢
Û -
=