232 / 368
231
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
0
0
x
x
0
0
D.L.H x 0
D.L.H x 0
e 1
e 1
lim
lim
2x
2 2
æ ö
æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
®
®
-
=
=
=
.
Οπότε
( )
Α
1
ε : y x 1
2
= +
.
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:
( )
( )
1
2f x x 2 f x x 1
2
= + Û = +
,
x
Î
.
Αφού
f
κυρτή στο , η (ε
Α
) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση
της
f
, με εξαίρεση το σημείο επαφής άρα (ε
Α
) και
f
C
θα έχουν μόνο ένα
κοινό σημείο, το σημείο επαφής.
Έτσι λοιπόν η εξίσωση
( )
1
f x x 1
2
= +
,
x
Î
θα έχει ακριβώς μια λύση, την
0
x 0
=
.
Γ4.
Έχουμε :
( )
x 0
lim x lnx lnf x
+
®
é ×
×
ù =
ë
û
·
(
)
( )
D.L.H
x 0
x 0
x 0
x 0
2
1
lnx
x
lim x lnx lim
lim
lim x 0
1
1
x
x
+
+
+
+
-¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®
®
®
®
æ ö
æ
ö
ç ÷
ç
÷
×
=
=
= - =
ç ÷
ç
÷
ç ÷
ç
÷ -
è ø
è
ø
·
Για το
( )
(
)
1
x 0
lim lnf x
+
®
=
, θέτουμε
( )
u f x
=
και αφού
( ) ( )
x 0
lim f x f 0 1
+
®
= =
, είναι
u 1
®
, άρα
( )
1
u 1
lim lnu 0
®
=
=
Οπότε
0
=
Θεωρούμε τις συναρτήσεις
f,g :
®
με
f
παραγωγίσιμη τέτοιες ώστε:
·
( )
(
)
( )
(
)
f x x f x 1 x
¢
+
+ =
για κάθε
x
Î
·
( )
f 0 1
=
και
·
( )
2
3
3x
g x x
1
2
= + -
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013