235 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
234
·
g
γνησίως αύξουσα στο
[
)
3
Δ 0,
= +¥
και συνεχής, άρα
( )
( )
( )
)
3
x
g
Δ g 0 , lim g x
®+¥
é=
ë
Όμως,
( )
( )
2
3
3
x
x
x
3x
lim g x lim x
1 lim x
2
®+¥
®+¥
®+¥
æ
ö
=
+ - =
= +¥
ç
÷
è
ø
.
Οπότε
( )
[
)
3
g
Δ 1,
= - +¥
.
Παρατηρούμε ότι
( )
3
0 g
Δ
Î
.
Συνεπώς η εξίσωση
( )
g x 0
=
έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία βρίσκεται στο
[
)
3
Δ 0,
= +¥
.
Γ3.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
π
x
4
0
π
G x f x
εφx
f t dt
4
-
æ
ö
= - ×
+
ç
÷
è
ø
ò
·
Η
π
f x
4
æ
ö -ç
÷
è
ø
ορίζεται στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
και είναι
συνεχής στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
ως σύνθε-
ση της
( )
f x
και της
( )
1
π
f x x
4
= -
·
Η
εφx
ορίζεται στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
και είναι συνεχής στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
.
·
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( )
π
x
4
1
0
G x
f t dt
-
=
ò
. Η συνάρτηση f είναι συ-
νεχής στο
R
και 0
Î
R
. Άρα το
( )
x
0
f t dt
ò
ορίζεται στο
R
, είναι παραγωγί-
σιμη στο
R
οπότε είναι παραγωγίσιμη στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
. Επιπλέον η
( )
1
π
f x x
4
= -
είναι παραγωγίσιμη στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
. Συνεπώς η
( )
1
G x
είναι
παραγωγίσιμη στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Άρα
,
G
π
D 0,
4
é ù
= ê ú ë û
και η G είναι παραγωγίσιμη στο
π
0,
4
é ù
ê ú ë û
.
Είναι: