231 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
230
Το πρόσημο της
f
΄ εξαρτάται από τον αριθμητή διότι
2
x 0
>
για κάθε
x 0
¹
.
Έστω
( )
x
x
g x xe e 1
= - +
,
g
D
=
, οπότε
( )
x
x
x
x
g x e xe e xe
¢
= + - =
,
x
Î
.
( )
x
e 0
x
g x 0 xe 0 x 0
>
¢
= Û = Û =
( )
x
e 0
x
g x 0 xe 0 x 0
>
¢
> Û > Û >
( )
x
e 0
x
g x 0 xe 0 x 0
>
¢
< Û < Û <
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών έχουμε ότι η
g
παρουσιάζει Ολικό
Ελάχιστο στο
0
x 0
=
με τιμή
( )
g 0 0
=
.
Άρα για κάθε
x 0
¹
είναι
( ) ( )
x
x
g x g 0 xe e 1 0
> Û - + >
Έτσι, λοιπόν, για κάθε
x 0
¹
είναι
( )
f x 0
¢
>
και αφού
f
συνεχής στο
0
x 0
=
η
f
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
άρα
f
και «1
-
1» στο
δηλαδή
ορίζεται η
1
f
-
.
Είναι
( )
( )
( )
(
)
x
x
f
Α lim f x , lim f x
®-¥
®+¥
=
με
( )
x
x
x
e 1
lim f x lim 0
x
®-¥
®-¥
-
=
=
και
( )
( )
x
x
x
x
d.L.H x
e 1
lim f x lim
lim e
x
+¥æ ö
ç ÷ +¥è ø
®+¥
®+¥
®+¥
-
=
=
= +¥
Επομένως ,
( ) (
)
f
Α 0,
= +¥
οπότε και
(
)
1
f
D 0,
-
= +¥
.
Γ3.
Η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Α είναι :
( )
( ) ( )(
)
( )
( )
Α
ε : y f 0 f 0 x 0 y 1 f 0 x y f 0 x 1
¢
¢
¢
- =
- Û - =
Û =
+
( )
( ) ( )
x
x
x
2
x 0
x 0
x 0
x 0
e 1
e 1 x
1
f x f 0
e 1 x
x
x
f 0 lim
lim
lim
lim
x 0
x
x
x
®
®
®
®
-
- -
-
-
- -
¢
=
=
=
=
-
x
-
¥
0
+
¥
( )
g x
¢
-
+
g
>
1