208 / 368
207
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
)
(
)
2
f x ln
λ 1 x x 1 ln x 2
é
ù
= + + + - +
ë
û
,
x 1
>-
όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με
λ 1
³ -
Α.
Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο
( )
®+¥
x
lim f x
και να
είναι πραγματικός αριθμός.
(Μονάδες 5)
Β.
Έστω ότι
λ 1
= -
α.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση
f
και να βρείτε το
σύνολο τιμών της
(Μονάδες 10)
β.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f
(Μονάδες 6)
γ.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
+ =
2
f x
α 0
έχει μοναδική λύση για κάθε
πραγματικό αριθμό α με
α 0
¹
(Μονάδες 4)
Απάντηση:
Α.
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
λ 1 x x 1
f x ln
λ 1 x x 1 ln x 2 ln
x 2
+ + +
é
ù
= + + + - + =
ë
û
+
Για
x 2010
>
θέτουμε
(
)
2
λ 1 x x 1
θ
x 2
+ + +
=
+
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
x
x
x
1 1
1 1
x
λ 1
x λ 1
λ 1 x x 1
x x
x x
lim
lim
lim
2
2
x 2
1
x 1
x
x
®+¥
®+¥
®+¥
é
ù
é
ù
+ + +
+ + +
ê
ú
ê
ú
+ + +
ë
û
ë
û
=
=
=
+
æ
ö
+
+ç
÷
è
ø
Διακρίνουμε περιπτώσεις
●
Για
λ 1
> -
είναι
= +¥
οπότε
( )
x
θ
lim f x lim ln
θ
®+¥
®+¥
=
= +¥Ï
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009