202 / 368
201
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Διακρίνουμε περιπτώσεις
i)
Αν
1
α ,
e
æ
ö
Î -¥ - ç
÷
è
ø
,
η
(1)
είναι αδύνατη αφού το
( )
f
α f D
Ï
.
ii)
Αν
1
α
e
= -
, τότε
( )
1
α f Δ
Ï
όμως
( )
2
α f Δ
Î
και
f
γνησίως αύξουσα σε
αυτό άρα η
(1)
έχει μια ακριβώς ρίζα.
iii)
Αν
1
α ,0
e
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
, η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες, αφού
( )
1
α f Δ
Î
και
f
γνησίως φθίνουσα σε αυτό, άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο
1
Δ
. Επιπλέον,
( )
2
α f Δ
Î
και
f
γνησίως αύξουσα σε αυτό ,άρα η
(1)
έχει μια
ακριβώς ρίζα στο
2
Δ
iv)
Αν
α 0
=
η
(1)
γίνεται
xlnx 0 x 0
= Û =
(
απορρίπτεται) ή
lnx 0 x 1
= Û =
.
Άρα η
(1)
έχει μια ακριβώς ρίζα θετική
v)
Αν
(
)
α 0,
Î +¥
, επειδή
( )
1
α f Δ
Ï
,όμως ,
( )
2
α f Δ
Î
και
f
γνησίως αύξου-
σα σε αυτό άρα η
f
έχει μια ακριβώς ρίζα στο
2
Δ
.
δ.
Είναι
( )
1
f x
0
x
¢¢
= >
για κάθε
x 0
>
. Άρα
f
¢
γνησίως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
·
Η
f
είναι συνεχής
[
]
(
)
x,x 1 0,
+ Í +¥
·
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
(
) (
)
x,x 1 0,
+ Í +¥
Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού υ-
πάρχει
(
)
ξ x,x 1
Î +
τέτοιο, ώστε
( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
f x 1 f x
f
ξ
f ξ f x 1 f x (2)
x 1 x
+ -
¢
¢
=
Û = + -
+ -
.
Όμως,
(
)
ξ x,x 1
Î +
,άρα
( ) (
) (
) ( ) (
)
f
(2)
ξ x 1 f ξ f x 1 f x 1 f x f x 1
¢
¢
¢
¢
< + Û < + Þ + - < +
1
.