194 / 368
193
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Όμως
,
®+¥
®+¥
æ ö
æ ö
=
=
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
λ
λ
1
3
lim lim 0
λ
λ
, οπότε, σύμφωνα με
το κριτήριο
παρεμβο-
λής είναι
®+¥
+
=
λ
2
ημλ
lim
0
λ
και αφού
+
>
2
ημλ
0
λ
είναι
®+¥
= +¥
+
λ
1
lim
2
ημλ
λ
.
Έτσι
,
λοιπόν επειδή
-
>
e 2
0
2
,
προκύπτει τελικά ότι
= +¥
.
Δίνεται η συνάρτηση
f
, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
με
( )
f x 0
¢
¹
για
κάθε
x
Î
.
α.
Να δείξετε ότι η
f
είναι “1
-
1”
(Μονάδες
7)
β.
Αν η γραφική παράσταση
f
C
της
f
διέρχεται από τα σημεία Α(1,2005) και
Β(
-
2,1) να λύσετε την εξίσωση
(
)
(
)
1
2
f
2004 f x 8 2
-
- + - = -
(Μονάδες
9)
γ.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της
f
C
, στο οποίο η εφα-
πτομένη της
f
C
είναι κάθετη στην ευθεία
( )
1
ε : y
x 2005
668
= - +
(Μονάδες
9)
Απάντηση:
α.
Έστω ότι η συνάρτηση
f
δεν είναι 1
-1.
Τότε θα υπάρχουν
1 2
x ,x
Î
με
1
2
x x
¹
(π.χ.
1
2
x x
<
) τέτοια, ώστε
( ) ( )
1
2
f x f x
=
. Έτσι, λοιπόν, θα είναι :
·
f
συνεχής στο
[
]
1 2
x ,x
·
f
παραγωγίσιμη στο
(
)
1 2
x ,x
·
( ) ( )
1
2
f x f x
=
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005