191 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
190
επομένως είναι και συνεχής στο πεδίο ορισμού της .
·
Η
g
είναι συνεχής στο
3
0,
2
é ù Í ê ú ë û
·
Η
g
είναι παραγωγίσιμη στο
3
0,
2
æ ö Í ç ÷
è ø
·
( )
( )
0
g 0 e f 0 0
=
=
και
3
2
3
3
g
e f
0
2
2
æ ö
æ ö
=
=
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
άρα
( )
3
g 0 =g
2
æ ö
ç ÷
è ø
Σύμφωνα με το θεώρημα
Rolle
υπάρχει ένα τουλάχιστον
æ ö
Î ç ÷
è ø
3
ξ 0,
2
τέτοιο,
ώστε
( )
( )
( )
ξ
ξ
g
ξ 0 e f ξ e f ξ 0
¢
¢
= Û +
=
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
¹
¢
¢
¢
Û + = Û + = Û = -
ξ
e 0
ξ
e f
ξ f ξ 0
f ξ f ξ 0 f ξ f ξ
β.
Αφού
( )
2
f x 2x 3x
= -
το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:
( )
( )
(
)
( ) (
)
0
0
0
x
2
x
2
α
α
α
I
α g x dx e 2x 3x dx
e 2x 3x dx
¢
=
=
- =
-
ò
ò
ò
(
)
0 0
x
2
x
2
α α
e 2x 3x
e (2x 3x) dx
é
ù
¢
=
- -
-
ë
û
ò
(
)
(
)
0 0
x
2
x
α α
e 2x 3x
e 4x 3 dx
é
ù
=
- -
-
ë
û
ò
(
)
( )
(
)
0
0
x
2
x
α α
e 2x 3x
e 4x 3 dx
¢
é
ù
=
- -
-
ë
û
ò
(
)
(
)
(
)
0
0 0
x
2
x
x
α α
α
e 2x 3x
e 4x 3
e 4x 3 dx
¢
é
ù é
ù
=
- -
- +
-
ë
û
ë
û
ò
(
)
(
)
0
0 0
x
2
x
x
α α
α
e 2x 3x
e 4x 3
e 4dx
é
ù é
ù
=
- -
- + ×
ë
û
ë
û
ò
(
)
(
)
0
0
0
x
2
x
x
α
α
α
e 2x 3x
e 4x 3 4 e
é
ù é
ù é ù
=
- -
- +
ë
û ë û
ë
û
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
0
2
α 2
0
α
0 α
e 2 0 3 0 e 2
α 3α e 4 0 3 -e 4α 3 4 e e
é
ù é
ù
= × - × -
- - × -
- + -
ë
û
ë
û
(
)
(
)
α 2
α
α
e 2
α 3α 3 e 4α 3 4 4e
= -
- + +
- + -
(
)
α
2
7 e 4
α-3-2α 3α 4
= +
+ -
(
)
= +
+ -
α
2
7 e -2
α 7α 7
γ.
Έχουμε το όριο :
( )
(
)
α
2
α
α
lim
Ι α lim 7 e 2α 7α 7
®-¥
®-¥
é
ù
=
+ - + -
ë
û
.