186 / 368
185
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
³ +
x
e 1 x
για κάθε
x
Î
.
Έστω, η συνάρτηση
( )
= - -
x
g x e 1 x
με
g
D
=
H g
είναι συνεχής
στο
ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (
x
e
συνεχής
ως εκθετική και
1 x
- -
συνεχής ως πολυωνυμική)
H g
είναι παραγωγίσιμη στο
με
( )
¢
= -
x
g x e 1
.
( )
g x 0
¢
= Û
-
- = Û = Û = Û =
x
e ''1 1''
x
x
x
0
e 1 0 e 1 e e
x 0
( )
¢
> Û - > Û > Û >
x
e
x
x
0
g x 0 e 1 0 e e x 0
1
( )
¢
< Û - < Û < Û <
x
e
x
x
0
g x 0 e 1 0 e e x 0
1
Η συνάρτηση
g
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
]
-¥
,0
και γνησίως αύξουσα
στο
[
)
+¥
0,
και επιπλέον, συνεχής στο μηδέν άρα, παρουσιάζει ολικό ε-
λάχιστο στο 0, το
( )
= - - =
0
g 0 e 1 0 0
.
Επομένως
( ) ( )
g x g 0 0
³ =
για
κάθε
x
Î
ή
x
e 1 x 0
- - ³
για κάθε
x
Î
και άρα:
x
e 1 x
³ +
για κάθε
x
Î
.
γ.
Έχουμε
( )
¢
= + +
4
2
f x 5x 3x 1
άρα
( )
¢
= × + × + =
4
2
f 0 5 0 3 0 1 1
Επομένως η εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
0,0
έχει εξίσωση
( ) ( )(
)
(
)
¢
- =
- Û - = × - Û =
y f 0 f 0 x 0 y 0 1 x 0 y x
που είναι η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, καθώς
και ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της
f
και της
-
1
f
.
δ.
Η συνάρτηση
-
1
f
έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της
f
και αφού η
f
είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο
ισχύει:
·
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
f
x
x
D f
lim f x , lim f x
,
-
®-¥
®+¥
= =
= -¥ +¥ =
αφού
x
¥
-
0
¥
+
( )
g x
¢
-
+
g
>
1