181 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
180
α.
Αφού
f
παραγωγίσιμη στο
και
( )
( )
( )
+
+
3
2
f x
βf x γf x
, παραγωγίσιμη
ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων
στο
καθώς και η
- + -
3
2
x 2x 6x 1
είναι παραγωγίσιμη στο
ως πολυωνυμική .
Παραγωγίζοντας τη
( )
( )
( )
+
+ = - + -
3
2
3
2
f x
βf x γf x x 2x 6x 1
έχουμε
( ) ( )
( ) ( )
( )
¢
¢
¢
+
+ = - + Û
2
2
3f x f x 2
βf x f x γf x 3x 4x 6
( )
( )
( )
2
2
f x 3f x 2
β f x γ 3x 4x 6, x
¢
é
ù
Û ×
+
+ = - + Î
ë
û
(1)
Θεωρούμε το
( )
( )
2
3f x 2
β f x γ
+
+
τριώνυμο ως προς
( )
f x
Είναι
(
)
= - = - <
2
2
Δ 4β 12γ 4 β 3γ 0
Από το διπλανό πίνακα προ-
σήμου έχουμε:
( )
( )
2
3f x 2
β f x γ 0
+
+ >
,
x
Î
Επίσης για το πρόσημο του
2
3x 4x 6
- +
έχουμε:
= - = - <
Δ 16 72 54 0
Άρα,
2
3x 4x 6 0
- + >
για
x
Î
Οπότε από την σχέση
(1)
παίρνουμε:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
- +
¢
¢
é
ù
×
+
+ = - + Û =
>
ë
û
+
+
2
2
2
2
3x 4x 6
f x 3f x 2
β f x γ 3x 4x 6 f x
0
3f x 2
β f x γ
για κάθε
x
Î
, δηλαδή η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
,
οπότε δεν έχει ακρότατα
.
β.
Επειδή είναι
( )
( )
( )
- +
¢
=
>
+
+
2
2
3x 4x 6
f x
0
3f x 2
β f x γ
για κάθε
x
Î
,
προκύπτει
ότι η
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
.
γ.
Είναι:
( )
( )
( )
3
2
3
2
f x
β f x γ f x x 2x 6x 1, x
+
+ = - + - Î
(2)
·
Η
f
είναι συνεχής στο
[ ]
0,1
,αφού από υπόθεση είναι παραγωγίσιμη
άρα και συνεχής στο
x
-¥
+¥
( )
( )
2
3f x 2
βf x γ
+
+
+
x
-¥
+¥
2
3x 4x 6
- +
+