182 / 368
181
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
Η σχέση
(2)
για
=
x 0
γίνεται :
( )
( )
( )
3
2
3
2
f 0
β f 0 γ f 0 0 2 0 6 0 1
+
+ = - × + × -
( ) ( )
( )
é
ù
Û + + = -
ë
û
2
f 0 f 0
β f 0 γ 1
(3)
Όμως , για το
( )
( )
2
f x
β f x γ
+ +
έχουμε
2
Δ β 4γ 0
= - <
,
αφού
2
0
β 3γ 4γ
£ < <
οπότε
( )
( )
2
f x
β f x γ 0
+ + >
(4)
για κάθε
x
Î
.
Για
=
x 0
η
(4)
( )
( )
2
f 0
β f 0 γ 0
Þ + + >
,
οπότε από
(3)
είναι
( )
( )
( )
= -
<
+ +
2
1
f 0
0
f 0
β f 0 γ
.
·
Η σχέση
(2)
για
x 1
=
γίνεται :
( )
( )
( )
3
2
3
2
f 1
β f 1 γf 1 1 2 1 6 1 1
+
+ = - × + × -
( ) ( )
( )
2
f 1 f 1
β f 1 γ 4
é
ù
Û + + =
ë
û
(5)
Για
x 1
=
η
(4)
γίνεται
:
( )
( )
2
f 1
β f 1 γ 0
+ + >
,
οπότε από
(5)
είναι
( )
( )
( )
2
4
f 1
0
f 1
β f 1 γ
=
>
+ +
Τελικά λοιπόν
( ) ( )
×
<
f 0 f 1 0
Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano,
υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
0
x 0,1
Î
τέτοιο, ώστε
( )
=
0
f x 0
και επειδή η
f
είναι γνησίως αύξουσα
στο
( )
0,1
, έχουμε ότι η λύση
0
x
είναι μοναδική
.
Απάντηση:
Έστω οι συναρτήσεις
f,g
με πεδίο ορισμού το
.
Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης
f g
είναι 1
-1.
α.
Να δείξετε ότι η
g
είναι 1
-1.
(Μονάδες 7)
β.
Να δείξετε ότι η εξίσωση:
( )
(
)
( )
(
)
+ - =
+ -
3
g f x x x g f x 2x 1
έχει ακριβώς
δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.
(Μονάδες 18)
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2002