183 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
182
α.
Επειδή η
f
είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το
,
έχουμε ότι για κάθε
1 2
x ,x
Î
με
= Þ
1
2
g(x ) g(x )
(
) (
)
=
Û
1
2
f g(x ) f g(x )
( )( ) ( )( )
=
1
2
f g x f g x
Επειδή, όμως , η
f g
είναι 1
-
1 στο
,
προκύπτει ότι
=
1
2
x x
.
Έτσι, δείξαμε ότι για κάθε
1 2
x ,x
Î
με
( ) ( )
1
2
1 2
g x g x
x x
= Û =
.
Άρα, η
g
είναι 1
-1.
β.
Το πεδίο ορισμού της
g
είναι το
και επιπλέον
( )
+ -
3
f x x x
,
( )
+ -
f x 2x 1
έχουν τιμές στο , επομένως η εξίσωση θα λυθεί στο
.
Έχουμε:
( )
(
)
( )
(
)
g:"1 1"
3
g f x x x g f x 2x 1
-
+ - =
+ - Û
( )
( )
3
f x x x f x 2x 1
+ - = + -
3
x x 2x 1
Û - = + - Û
3
x 3x 1 0
- + =
Θεωρούμε την συνάρτηση:
( )
= - +
3
h x x 3x 1
,
x
Î
H h
είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με:
( )
(
)
2
2
h x 3x 3 3 x 1
¢
= - = -
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η συνάρτηση
h
είναι
γνησίως αύξουσα στα διαστήματα
(
]
, 1
-¥ -
και
[
)
1,
+¥
ενώ
γνησίως φθί-
νουσα στο
[
]
1,1
-
.
Έχουμε:
·
Η
h
συνεχής στο
[
]
- -
2, 1
ως πολυωνυμική και
·
( ) ( ) ( )( )
- × - = - + = - <
h 2 h 1 1 3 3 0
Σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano
υπάρχει ένα τουλάχιστον
1
x ( 2, 1)
Î - -
,
επομένως
<
1
x 0
,
τέτοιο, ώστε
( )
=
1
h x 0
.
x
¥
-
-1 1
¥
+
( )
h x
¢
+
-
+
h
1
>
1