188 / 368
187
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
(Μονάδες
6)
δ.
Να αποδείξετε ότι
(
)
1
0 2
1
dx ln 2 1
x 1
= +
+
ò
(Μονάδες
8)
Απάντηση:
α.
Πρέπει
2
2
x 1 0 x 1 x
+ ³ Û ³ - Û Î
,
άρα
f
D
=
.
Για
x M
>
με Μ πολύ μεγάλος θετικός αριθμός έχουμε
:
( )
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
x
x
x
x 1 x x 1 x
lim f x lim x 1 x lim
x 1 x
®+¥
®+¥
®+¥
+ -
+ +
=
+ - =
+ +
2
2
2
2
x
x
2
2
x 1 x
x
lim
lim
1
x 1
x
x
®+¥
®+¥
+ -
=
=
æ
ö + +
ç
÷
è
ø
2
1 x
+ -
x x
x
2
2
1
lim
1
1
x 1
x
x 1
x
x
x
=
®+¥
=
+ +
+ +
x
2
1
lim
0
1
x 1
1
x
®+¥
=
=
æ
ö
+ +
ç
÷
è
ø
.
β.
Για
x m
<
με
m
πολύ μικρός αρνητικός αριθμός έχουμε
:
( )
2
2
2
x
x
x
1
x 1
x
f x
x
x 1 x
lim lim
lim
x
x
x
®-¥
®-¥
®-¥
æ
ö + -
ç
÷
+ -
è
ø
=
=
x x
2
2
x
x
1
1
x 1
x
x 1
x
x
x
lim
lim
x
x
=-
®-¥
®-¥
+ -
- + -
=
=
x
x
lim
®-¥
=
2
1
1
1
x
x
æ
ö
- + -
ç
÷
è
ø
2
x
1
lim 1
1 2
x
®-¥
æ
ö
= - + - = -
ç
÷
ç
÷
è
ø
( ) ( )
( )
(
)
(
)
2
x
x
x
lim f x 2x lim f x 2x lim x 1 x
®-¥
®-¥
®-¥
é - - ù =
+ =
+ + =
ë
û