184 / 368
183
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επειδή η
h
στο
-¥ -
( , 1]
είναι γνησίως αύξουσα, η παραπάνω ρίζα
1
x
είναι
μοναδική στο
-¥ -
( , 1]
.
Ø
Ακόμη
·
Η
h
συνεχής στο
[ ]
0,1
ως πολυωνυμική και
·
( ) ( )
( )
×
= × - = - <
h 0 h 1 1 1 1 0
Άρα από θεώρημα
Bolzano
υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
Î
2
x 0,1
,
επομένως
>
2
x 0
,
τέτοιο ώστε
( )
=
2
h x 0
.
Επειδή η
h
είναι γνησίως φθίνουσα στο
[
]
-
1,1
, προκύπτει ότι η ρίζα
αυτή είναι μοναδική στο
[
]
-
1,1
.
Ø
Επίσης ,
·
Η
h
συνεχής στο
[ ]
1,2
ως πολυωνυμική και
·
( ) ( ) ( )( )
×
= - + = - <
h 1 h 2 1 3 3 0
Άρα, από θεώρημα
Bolzano
υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
Î
3
x 1,2
,
επομένως
>
3
x 0
,
τέτοιο ώστε
( )
=
3
h x 0
.
Επειδή η
h
είναι γνησίως αύξουσα στο
[
)
+¥
1,
, προκύπτει ότι η ρίζα αυτή
είναι μοναδική.
Τελικά η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές και μια αρνητική ρίζα.
Έστω η συνάρτηση
( )
= + +
5 3
f x x x x
.
α.
Να μελετήσετε την
f
ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξε-
τε ότι η
f
έχει αντίστροφη συνάρτηση.
(Μονάδες 6)
β.
Να αποδείξετε ότι
( )
(
)
³ +
x
f e f 1 x
για κάθε
x
Î
.
(Μονάδες 6)
γ.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο ση-
μείο
( )
0,0
είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της
f
ΘΕΜΑ Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2003